fimm sinnum í augað

Í lok árs 2020 voru nokkrir viðburðir haldnir í háskólum og skólum, frestað frá ... mars. Einn þeirra var „hátíð“ pí-dagsins. Af þessu tilefni, 8. desember, hélt ég fjarfyrirlestur við háskólann í Slesíu og er þessi grein samantekt á fyrirlestrinum. Allt veislan byrjaði 9.42 og er fyrirlesturinn minn áætlaður 10.28. Hvaðan kemur slík nákvæmni? Það er einfalt: 3 sinnum pí er um 9,42, og π í 2. veldi er um 9,88, og klukkustundin 9 í 88. veldi er 10 í 28.

Venjan að heiðra þetta númer, tjáir hlutfall ummáls hrings og þvermáls hans og stundum kallaður Arkímedesarfasti (sem og í þýskumælandi menningu), kemur frá Bandaríkjunum (sjá einnig: ). 3.14 mars “American style” kl 22:22, þess vegna hugmyndin. Pólska jafngildið gæti verið 7. júlí vegna þess að brotið 14/XNUMX nálgast π vel, sem...Arkímedes vissi þegar. Jæja, mars XNUMX er besti tíminn fyrir hliðarviðburði.

Þessir þrír og fjórtán hundruðustu eru einn af fáum stærðfræðilegum skilaboðum sem hafa fylgt okkur frá skólanum alla ævi. Allir vita hvað það þýðir"fimm sinnum í augað". Það er svo rótgróið í tungumálinu að erfitt er að tjá það öðruvísi og af sömu þokka. Þegar ég spurði á bílaverkstæðinu hvað viðgerðin gæti kostað, hugsaði vélvirkinn um það og sagði: „fimmfalt um átta hundruð zloty.“ Ég ákvað að nýta mér stöðuna. "Þú meinar grófa nálgun?". Vélvirkjann hlyti að hafa haldið að ég hefði misheyrt, svo hann endurtók: "Ég veit ekki nákvæmlega hversu mikið, en fimm sinnum með auga væri 800."

.

Um hvað snýst þetta? Stafsetning fyrir seinni heimsstyrjöld notaði "nei" saman og ég skildi það eftir. Hér er ekki verið að fjalla um óþarflega stórfenglegan kveðskap, þó mér líki vel við þá hugmynd að "gullskip dælir hamingju." Spyrðu nemendur: Hvað þýðir þessi hugsun? En gildi þessa texta liggur annars staðar. Fjöldi bókstafa í eftirfarandi orðum eru tölustafir pi framlengingarinnar. Látum okkur sjá:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

Árið 1596, hollenskur vísindamaður af þýskum uppruna Ludolf van Seulen reiknað út gildi pí með 35 aukastöfum. Svo voru þessar myndir grafnar á gröf hans. Hún tileinkaði ljóð tölunni pí og Nóbelsverðlaunahafanum okkar, Vislava Shimborska. Szymborska heillaðist af því að þetta númer var ekki reglubundið og því að með líkindum 1 mun hver talnaröð, eins og símanúmerið okkar, koma fyrir þar. Þó að fyrri eignin sé fólgin í hverri óræðri tölu (sem við ættum að muna frá skólanum), þá er sú síðari áhugaverð stærðfræðileg staðreynd sem erfitt er að sanna. Þú getur jafnvel fundið forrit sem bjóða upp á: gefðu mér símanúmerið þitt og ég skal segja þér hvar það er í pí.

Þar sem er kringlótt er svefn. Ef við erum með kringlótt stöðuvatn, þá er gangan um það 1,57 sinnum lengri en að synda. Það þýðir auðvitað ekki að við syndum einu og hálfu til tvisvar sinnum hægar en við förum framhjá. Ég deildi 100m heimsmetinu með 100m heimsmetinu. Athyglisvert er að hjá körlum og konum er niðurstaðan nánast sú sama og er 4,9. Við syndum 5 sinnum hægar en við hlaupum. Róður er allt öðruvísi - en áhugaverð áskorun. Það er með frekar langan söguþráð.

Á flótta undan hinum elta illmenni sigldi hinn myndarlegi og göfugi góður að vatninu. Illmennið hleypur meðfram ströndinni og bíður eftir því að hún komi honum á land. Auðvitað hleypur hann hraðar en Dobry róar, og ef hann hleypur rólega er Dobry hraðari. Þannig að eini möguleikinn fyrir Evil er að ná Good frá ströndinni - nákvæm skot úr byssu er ekki valkostur, vegna þess að. Good hefur dýrmætar upplýsingar sem Ivil vill vita.

Good fylgir eftirfarandi stefnu. Hann syndir yfir vatnið, nálgast ströndina smám saman, en reynir alltaf að vera hinum megin frá vonda, sem hleypur af handahófi til vinstri, síðan til hægri. Þetta er sýnt á myndinni. Láttu Evil upphafsstöðu vera Z₁, og Dobre er mitt vatnið. Þegar Zly flytur til Z₁, Góður vilji synda til D.₁þegar Bad er í Z₂, gott á D₂. Það mun flæða á sikksakk hátt, en í samræmi við regluna: eins langt frá Z og mögulegt er. Hins vegar, þar sem það fjarlægist miðju vatnsins, verður Good að hreyfast í stærri og stærri hringi og á einhverjum tímapunkti getur það ekki fylgja meginreglunni „að vera hinum megin við hið illa“. Síðan reri hann af öllu afli til strandar í von um að hinn vondi færi ekki fram hjá vatninu. Mun Good ná árangri?

Svarið fer eftir því hversu hratt Good getur róið miðað við verðmæti fótanna á Bad. Segjum sem svo að vondi maðurinn hlaupi á hraða sem er s sinnum meiri en góði maðurinn á vatninu. Þess vegna hefur stærsti hringurinn, sem Good getur róið á til að standast hið illa, radíus sem er einu sinni minni en radíus stöðuvatns. Svo, á teikningunni sem við höfum. Í punkti W byrjar Kind okkar að róa í átt að ströndinni. Þetta verður að fara 

 með hraða

Hann þarf tíma.

Wicked eltir alla sína bestu fætur. Hann verður að klára helming hringsins, sem mun taka hann sekúndur eða mínútur, allt eftir völdum einingum. Ef þetta er meira en hamingjusamur endir:

Sá góði fer. Einfaldir reikningar sýna hvað það ætti að vera. Ef vondi maðurinn hleypur hraðar en 4,14 sinnum góði maðurinn, endar það ekki vel. Og hér grípur númerið pí líka inn í.

Það sem er kringlótt er fallegt. Skoðum myndina af þremur skrautplötum - ég á þær eftir foreldra mína. Hvert er flatarmál boglínulaga þríhyrningsins á milli þeirra? Þetta er einfalt verkefni; svarið er á sömu mynd. Við erum ekki hissa á því að það birtist í formúlunni - þegar allt kemur til alls, þar sem er kringlótt, er pí.

Ég notaði mögulega ókunnugt orð:. Þetta er nafnið á tölunni pi í þýskumælandi menningu, og allt þetta er Hollendingum að þakka (reyndar Þjóðverji sem bjó í Hollandi - þjóðerni skipti ekki máli á þeim tíma), Ludolf frá Seoulen... Árið 1596 g. hann reiknaði út 35 tölustafi af stækkun sinni í aukastaf. Þetta met hélt til 1853, þegar William Rutherford taldi 440 sæti. Methafinn fyrir handvirka útreikninga er (líklega að eilífu) William Shankssem eftir margra ára vinnu gaf út (árið 1873) framlenging í 702 tölustafi. Aðeins árið 1946 reyndust síðustu 180 tölustafirnir vera rangir, en svo var áfram. 527 er rétt. Það var áhugavert að finna gallann sjálfan. Fljótlega eftir birtingu niðurstöðu Shanks grunaði þá að „eitthvað væri að“ - það voru grunsamlega fáar sjöur í þróun. Enn ósannað (desember 2020) tilgátan segir að allar tölur eigi að birtast með sömu tíðni. Þetta varð til þess að D.T. Ferguson endurskoðaði útreikninga Shanks og fann villu „nemandans“!

Síðar hjálpuðu reiknivélar og tölvur fólki. Núverandi (desember 2020) methafi er Timothy Mullican (50 billjón aukastafir). Útreikningarnir tóku ... 303 daga. Við skulum spila: hversu mikið pláss þetta númer myndi taka, prentað í venjulegri bók. Þar til nýlega var prentuð „hlið“ textans 1800 stafir (30 línur á 60 línur). Við skulum fækka stöfum og blaðsíðnamörkum, troða 5000 stöfum á hverja síðu og prenta 50 blaðsíðna bækur. Þannig að XNUMX trilljón persónur myndu taka tíu milljónir bóka. Ekki slæmt, ekki satt?

Spurningin er, hver er tilgangurinn með slíkri baráttu? Af hverju ætti skattgreiðandinn að borga fyrir slíka "skemmtun" stærðfræðinga, eingöngu frá efnahagslegu sjónarmiði? Svarið er ekki erfitt. Fyrsti, frá Seoulen fundið upp eyður fyrir útreikninga, þá gagnlegt fyrir logaritmíska útreikninga. Ef honum hefði verið sagt: vinsamlegast, byggið eyður, þá hefði hann svarað: hvers vegna? Á sama hátt skipun:. Eins og þú veist var þessi uppgötvun ekki algjörlega tilviljun, en engu að síður aukaafurð annarrar gerðar rannsókna.

Í öðru lagi skulum við lesa það sem hann skrifar Timothy Mullican. Hér er endurgerð af upphafi verka hans. Prófessor Mullican er í netöryggi og pi er svo lítið áhugamál að hann prófaði nýja netöryggiskerfið sitt á.

Og að 3,14159 í verkfræði sé meira en nóg, það er annað mál. Gerum einfaldan útreikning. Júpíter er í 4,774 Tm fjarlægð frá sólu (terameter = 1012 metrar). Til að reikna út ummál slíks hrings með slíkum radíus með fáránlegri nákvæmni upp á 1 millimetra, væri nóg að taka π = 3,1415926535897932.

Eftirfarandi mynd sýnir fjórðungshring af legókubbum. Ég notaði 1774 pads og það var um 3,08 pí. Ekki það besta, en við hverju má búast? Hringur getur ekki verið gerður úr ferningum.

Einmitt. Talan pi er þekkt fyrir að vera hring ferningur - stærðfræðilegt vandamál sem hefur beðið eftir lausn þess í meira en 2000 ár - frá grískum tímum. Geturðu notað áttavita og sléttlínu til að smíða ferning þar sem flatarmálið er jafnt flatarmáli tiltekins hrings?

Hugtakið „ferningur í hring“ hefur farið inn í talað tungumál sem tákn um eitthvað ómögulegt. Ég ýti á takkann til að spyrja, er þetta einhvers konar tilraun til að fylla skotgraf fjandskapar sem skilur að þegna okkar fallega lands? En ég forðast nú þegar þetta efni, því ég fíla mig líklega bara í stærðfræði.

Og aftur það sama - lausnin á vandamálinu við að fermetra hringinn birtist ekki á þann hátt að höfundur lausnarinnar, Charles Lindemann, árið 1882 var hann settur á laggirnar og tókst það að lokum. Að vissu leyti já, en það var afleiðing árásar breiða víglínu. Stærðfræðingar hafa lært að það eru mismunandi tegundir af tölum. Ekki aðeins heiltölur, skynsamlegar (þ.e. brot) og óræð. Ómælanleiki getur líka verið betri eða verri. Við munum kannski eftir því úr skólanum að óræð talan er √2 - tala sem gefur til kynna hlutfall lengdar ská fernings og lengd hliðar hans. Eins og hver óræð tala hefur hún óákveðna framlengingu. Ég minni á að reglubundin stækkun er eiginleiki skynsamlegra talna, þ.e. einkaheiltölur:

Hér endurtekur sig talnaröðin 142857 endalaust. Fyrir √2 mun þetta ekki gerast - þetta er hluti af rökleysunni. En þú getur:

(brot heldur áfram að eilífu). Við sjáum mynstur hér, en af ​​annarri gerð. Pi er ekki einu sinni svo algengt. Það er ekki hægt að fá hana með því að leysa algebrujöfnu - það er að segja þá þar sem hvorki er kvaðratrót, lógaritmi né hornafræðiföll. Þetta sýnir nú þegar að það er ekki hægt að smíða - að teikna hringi leiðir til ferningsfalla og línur - beinar línur - að jöfnum af fyrstu gráðu.

Kannski vék ég frá aðalsöguþræðinum. Aðeins þróun allrar stærðfræði gerði það að verkum að hægt var að hverfa aftur til upprunans - til hinnar fornu fallegu stærðfræði hugsuða sem sköpuðu okkur hina evrópsku hugsunarmenningu, sem er svo vafasöm í dag af sumum.

Af mörgum dæmigerðum mynstrum valdi ég tvö. Fyrsta þeirra tengjum við við eftirnafnið Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

En hann var þekktur (fyrirmynd, ekki Leibniz) af miðalda hindúafræðingnum Madhava frá Sangamagram (1350-1425). Flutningur upplýsinga á þessum tíma var ekki mikill - nettengingar voru oft gallaðar og engar rafhlöður fyrir farsíma (því raftæki voru ekki enn fundin upp!). Formúlan er falleg en gagnslaus fyrir útreikninga. Úr hundrað hráefnum fæst "aðeins" 3,15159.

hann er aðeins betri Formúla Viète (þessi úr jafnstöðujöfnum) og formúla hennar er auðvelt að forrita því næsti liður í afurðinni er kvaðratrót fyrri plús tveggja.

Við vitum að hringurinn er hringlaga. Við getum sagt að þetta sé 100 prósent umferð. Stærðfræðingurinn mun spyrja: getur eitthvað verið ekki 1 prósent umferð? Svo virðist sem þetta er oxymoron, setning sem inniheldur falinn mótsögn, eins og til dæmis heitan ís. En við skulum reyna að mæla hversu kringlótt formin geta verið. Það kemur í ljós að góður mælikvarði er gefinn með eftirfarandi formúlu, þar sem S er flatarmál og L er ummál myndarinnar. Við skulum komast að því að hringurinn er í raun kringlótt, að sigma er 6. Flatarmál hringsins er ummálið. Við setjum inn ... og sjáum hvað er rétt. Hversu kringlótt er ferningurinn? Útreikningarnir eru jafn einfaldir, ég mun ekki einu sinni gefa þá. Taktu venjulegan sexhyrning áletraðan í hring með radíus. Jaðarinn er augljóslega XNUMX.

Stöng

Hvað með venjulegan sexhyrning? Ummál hans er 6 og flatarmál hans

Svo höfum við

sem er um það bil jafnt og 0,952. Sexhyrningurinn er meira en 95% „kringlótt“.

Áhugaverð niðurstaða fæst þegar reiknað er út hringleika íþróttavallar. Samkvæmt reglum IAAF skulu beygjur og beygjur vera 40 metrar að lengd, þó frávik séu leyfð. Ég man að Bislet-leikvangurinn í Osló var þröngur og langur. Ég skrifa „var“ vegna þess að ég keyrði meira að segja á það (fyrir áhugamann!), En fyrir meira en XNUMX árum síðan. Við skulum skoða:

Ef hringurinn hefur 100 metra radíus er radíus þess boga metrar. Flatarmál grasflötarinnar er fermetrar og flatarmálið utan hennar (þar sem stökkbretti eru) er samtals fermetrar. Við skulum stinga þessu inn í formúluna:

Svo hefur hringleiki íþróttaleikvangs eitthvað með jafnhliða þríhyrning að gera? Vegna þess að hæð jafnhliða þríhyrnings er jafn mörgum sinnum hliðin. Þetta er tilviljunarkennd tilviljun talna, en það er fínt. Mér líkar það. Og lesendurnir?

Jæja, það er gott að það sé kringlótt, þó að sumir gætu mótmælt því að veiran sem hefur áhrif á okkur öll er kringlótt. Þannig teikna þeir það allavega.