öfugur sjarmi

Mikið er talað um "heilla andstæðna" og ekki bara í stærðfræði. Mundu að andstæðar tölur eru þær sem eru aðeins mismunandi í formerki: plús 7 og mínus 7. Summa andstæðra talna er núll. En fyrir okkur (þ.e. stærðfræðinga) eru gagnkvæmni áhugaverðari. Ef margfeldi talna er jöfn 1, þá eru þessar tölur andstæðar. Sérhver tala hefur sína andstæðu, hver tala sem er ekki núll hefur sína andhverfu. Gagnkvæmt hins gagnkvæma er fræið.

Viðsnúningur á sér stað þar sem tvær stærðir eru tengdar hvort öðru þannig að ef önnur eykst minnkar hin með samsvarandi hraða. „Viðeigandi“ þýðir að afurð þessara magna breytist ekki. Við munum eftir skólanum: þetta er öfugt hlutfall. Ef ég vil komast tvöfalt hraðar á áfangastað (þ.e. skera tímann um helming) þarf ég að tvöfalda hraðann. Ef rúmmál lokaðs íláts með gasi minnkar um n sinnum, þá mun þrýstingur þess aukast um n sinnum.

Í grunnnámi gerum við vandlega greinarmun á mismunasamanburði og hlutfallslegum samanburði. "Hversu mikið meira"? – „Hversu oft oftar?

Hér eru nokkur skólastarf:

Dæmi 1. Af tveimur jákvæðum gildum er hið fyrra 5 sinnum hærra en hið síðara og á sama tíma 5 sinnum hærra en hið fyrra. Hverjar eru stærðirnar?

Dæmi 2. Ef ein talan er 3 stærri en önnur, og önnur er 2 stærri en sú þriðja, hversu miklu stærri er þá fyrsta talan en sú þriðja? Ef fyrsta jákvæða talan er tvöfalt önnur og fyrsta talan þrisvar sinnum sú þriðja, hversu oft er fyrsta talan stærri en sú þriðja?

Dæmi 3. Í verkefni 2 eru aðeins náttúrulegar tölur leyfðar. Er slíkt fyrirkomulag sem þar er lýst mögulegt?

Dæmi 4. Af tveimur jákvæðum gildum er hið fyrra 5 sinnum hið síðara og hið síðara er 5 sinnum það fyrsta. Er það mögulegt?

Hugtakið "meðaltal" eða "meðaltal" virðist mjög einfalt. Ef ég hjólaði 55 km á mánudaginn, 45 km á þriðjudeginum og 80 km á miðvikudaginn, þá hjólaði ég að meðaltali 60 km á dag. Við erum hjartanlega sammála þessum útreikningum þó þeir séu svolítið skrítnir því ég hef ekki ekið 60 km á einum degi. Við tökum alveg eins við hlutum einstaklings: ef tvö hundruð manns heimsækja veitingastað innan sex daga, þá er meðaldaggjaldið 33 og þriðjungur. Hm!

Það eru aðeins vandamál með meðalstærð. Mér finnst gaman að hjóla. Þannig að ég nýtti mér tilboð ferðaskrifstofunnar „Við skulum fara með okkur“ - hún afhendir farangur á hótelið þar sem viðskiptavinurinn hjólar í afþreyingarskyni. Á föstudaginn keyrði ég í fjóra tíma: fyrstu tvo á 24 km hraða. Svo varð ég svo þreytt að næstu tvo á hraðanum bara 16 á klukkustund. Hver var meðalhraði minn? Auðvitað (24+16)/2=20km=20km/klst.

Á laugardeginum var farangurinn hins vegar skilinn eftir á hótelinu og ég fór að skoða rústir kastalans sem er í 24 km fjarlægð og eftir að hafa séð þær sneri ég aftur. Ég ók klukkutíma í aðra áttina, sneri hægar til baka, á 16 km hraða á klukkustund. Hver var meðalhraði minn á leiðinni hótel-kastala-hótel? 20 km á klukkustund? Auðvitað ekki. Enda ók ég alls 48 km og það tók mig klukkutíma ("þarna") og einn og hálfan tíma til baka. 48 km á tveimur og hálfum tíma, þ.e. klukkustund 48/2,5=192/10=19,2 km! Í þessum aðstæðum er meðalhraði ekki reiknað meðaltal, heldur harmonika tiltekinna gilda:

og þessa tveggja hæða formúlu má lesa sem hér segir: Harmónískt meðaltal jákvæðra talna er gagnkvæmt reiknaðs meðaltals gagnkvæms þeirra. Gagnkvæm summa gagnkvæma kemur fram í mörgum kórum skólaverkefna: Ef annar starfsmaðurinn grafar klukkustundir, hinn - b klukkustundir, þá grafa þeir á réttum tíma þegar þeir vinna saman. vatnslaug (ein á klukkustund, hin á b klst). Ef einn viðnám hefur R1 og hinn hefur R2, þá hafa þeir samhliða viðnám. 

Ef ein tölva getur leyst vandamál á nokkrum sekúndum, önnur tölva á b sekúndum, þá þegar þær vinna saman...

Hættu! Þetta er þar sem líkingin endar, því allt veltur á hraða netsins: skilvirkni tenginganna. Starfsmenn geta líka hindrað eða hjálpað hver öðrum. Ef einn maður getur grafið brunn á átta klukkustundum, geta áttatíu starfsmenn gert það á 1/10 úr klukkustund (eða 6 mínútum)? Ef sex burðarmenn fara með píanóið á fyrstu hæð á 6 mínútum, hversu langan tíma mun það taka einn þeirra að koma píanóinu á sextugustu hæð? Fáránleiki slíkra vandamála leiðir hugann að takmörkuðu nothæfi allrar stærðfræði á vandamál "úr lífinu".

Um öflugan seljanda 

Vigtin er ekki lengur notuð. Mundu að lóð var sett á eina skál af slíkum vog og varningurinn sem var vigtaður var settur á hina, og þegar lóðin var í jafnvægi, þá vóg varningurinn jafn mikið og þyngdin. Auðvitað verða báðir armar þyngdarálagsins að vera jafnlangir, annars verður vigtunin röng.

Ó rétt. Ímyndaðu þér sölumann sem hefur vægi með ójafnri skiptimynt. Hann vill þó vera heiðarlegur við viðskiptavinina og vegur vörurnar í tveimur lotum. Fyrst setur hann lóð á aðra pönnu og á hina samsvarandi magn af varningi - þannig að vogin sé í jafnvægi. Síðan vegur hann seinni "helminginn" vörunnar í öfugri röð, það er að segja að hann setur lóðina á seinni skálina og vörurnar á þá fyrstu. Þar sem hendurnar eru misjafnar eru „helmingarnir“ aldrei jafnir. Og samviska seljanda er hrein og kaupendur lofa heiðarleika hans: "Það sem ég fjarlægði hér, bætti ég svo við."

Hins vegar skulum við skoða nánar hegðun seljanda sem vill vera heiðarlegur þrátt fyrir ótryggan þunga. Látið arma vogarinnar hafa lengdina a og b. Ef önnur skálanna er hlaðin kílógrammaþyngd og hin með x vöru, þá er vogin í jafnvægi ef ax = b í fyrra skiptið og bx = a í seinna skiptið. Svo, fyrsti hluti vörunnar er jöfn b / kíló, seinni hlutinn er a / b. Góð þyngd hefur a = b, þannig að kaupandinn fær 2 kg af vörum. Við skulum sjá hvað gerist þegar a ≠ b. Þá er a – b ≠ 0 og úr minnkuðu margföldunarformúlunni sem við höfum

Við komum að óvæntri niðurstöðu: sú að því er virðist sanngjarna aðferð að „meðaltal“ mælinguna í þessu tilfelli virkar til hagsbóta fyrir kaupandann, sem fær fleiri vörur.

Verkefni 5. (Mikilvægt, alls ekki í stærðfræði!). Fluga vegur 2,5 milligrömm og fíll fimm tonn (þetta eru alveg rétt gögn). Reiknið reiknað meðaltal, rúmfræðilegt meðaltal og harmoniskt meðaltal moskítóflugna og fíla (þyngdar). Athugaðu útreikningana og athugaðu hvort þeir meiki eitthvað sens fyrir utan reikniæfingar. Við skulum skoða önnur dæmi um stærðfræðilega útreikninga sem eru ekki skynsamleg í "raunveruleikanum". Ábending: Við höfum nú þegar skoðað eitt dæmi í þessari grein. Þýðir þetta að nafnlaus nemandi sem ég fann skoðun á netinu hafi haft rétt fyrir sér: „Stærðfræði blekkir fólk með tölum“?

Já, ég er sammála því að í glæsileika stærðfræðinnar er hægt að „gabba“ fólk - í annarri hverri sjampóauglýsingu kemur fram að hún auki fluffiness um einhverja prósentu. Eigum við að leita að öðrum dæmum um gagnleg dagleg verkfæri sem hægt er að nota við glæpastarfsemi?

Grömmum!

Titill þessa kafla er sögn (fyrsta persóna fleirtölu) ekki nafnorð (nefnifall fleirtölu af einn þúsundasta úr kílói). Harmony felur í sér reglu og tónlist. Fyrir Grikki til forna var tónlist grein vísinda - það verður að viðurkennast að ef við segjum það þá flytjum við núverandi merkingu orðsins "vísindi" yfir á tímann fyrir okkar tíma. Pýþagóras var uppi á XNUMX. öld f.Kr.. Hann þekkti ekki bara tölvu, farsíma og tölvupóst heldur vissi hann ekki hverjir Robert Lewandowski, Mieszko I, Karlamagnús og Cíceró voru. Hann kunni hvorki arabísku né rómverska tölustafi (þær komu í notkun um XNUMX. öld f.Kr.), hann vissi ekki hvað púnversku stríðin voru ... En hann kunni tónlist ...

Hann vissi að á strengjahljóðfærum voru titringsstuðlar í öfugu hlutfalli við lengd titringshluta strengjanna. Hann vissi, hann vissi, hann gat bara ekki tjáð þetta eins og við gerum það í dag.

Tíðni strengjatitranna tveggja sem mynda áttund er í hlutfallinu 1:2, það er að segja að tíðni hærri tónsins er tvöföld tíðni þess neðri. Rétt titringshlutfall fyrir fimmta er 2:3, fjórði er 3:4, hreinn dúr þriðjungur er 4:5, minni þriðjungur er 5:6. Þetta eru skemmtileg samhljóðabil. Síðan eru tveir hlutlausir, með titringshlutföllin 6:7 og 7:8, þá ósamræmdu - stór tónn (8:9), lítill tónn (9:10). Þessi brot (hlutföll) eru eins og hlutföll samfelldra þátta í röð sem stærðfræðingar (af þessari ástæðu) kalla harmónísku röðina:

er fræðilega óendanleg summa. Hlutfall sveiflur áttundar má skrifa sem 2:4 og setja fimmtu á milli þeirra: 2:3:4, það er að segja að við skiptum áttundinni í fimmtu og fjórðu. Þetta er kallað harmonic hlutaskipting í stærðfræði:

Hrísgrjón. 1. Fyrir tónlistarmann: að skipta áttundu AB í fimmtu AC.Fyrir stærðfræðing: Harmónísk skipting

Hvað á ég við þegar ég tala (fyrir ofan) um fræðilega óendanlega summu, eins og harmónísku röðina? Það kemur í ljós að slík summa getur verið hvaða stór tala sem er, aðalatriðið er að við bætum saman í langan tíma. Það eru færri og færri hráefni, en það eru fleiri og fleiri af þeim. Hvað ríkir? Hér komum við inn á svið stærðfræðigreiningar. Það kemur í ljós að innihaldsefnin eru uppurin, en ekki mjög fljótt. Ég mun sýna að með því að taka nóg hráefni get ég dregið saman:

geðþótta stór. Tökum "til dæmis" n = 1024. Við skulum flokka orðin eins og sýnt er á myndinni:

Í hverjum svigi er hvert orð stærra en það fyrra, nema auðvitað það síðasta sem er jafnt sjálfu sér. Í eftirfarandi sviga höfum við 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 og 512 íhluti; gildi summan í hverjum sviga er meira en ½. Allt er þetta meira en 5½. Nákvæmari útreikningar myndu sýna að þessi upphæð er um það bil 7,50918. Ekki mikið, en alltaf, og þú getur séð að með því að taka n hvaða stóru, get ég staðið sig betur en hvaða tölu sem er. Þessi er ótrúlega hæg (t.d. toppum við tíu með hráefninu einu saman), en óendanlegur vöxtur hefur alltaf heillað stærðfræðinga.

Ferð út í hið óendanlega með harmonic röð

Hér er ráðgáta að nokkuð alvarlegri stærðfræði. Við höfum ótakmarkað framboð af rétthyrndum kubbum (hvað get ég sagt, rétthyrnd!) með stærðum, segjum, 4 × 2 × 1. Lítum á kerfi sem samanstendur af nokkrum (á mynd. 2 - fjórir) blokkir, raðað þannig að sá fyrsti hallar um ½ af lengd sinni, sá annar að ofan um ¼ og svo framvegis, sá þriðji um einn sjötta hluta. Jæja, kannski til að gera það mjög stöðugt, skulum við halla fyrsta múrsteinnum aðeins minna. Það skiptir ekki máli fyrir útreikninga.

Hrísgrjón. 2. Ákvörðun þyngdarpunktsins

Það er líka auðvelt að skilja að þar sem myndin sem samanstendur af fyrstu tveimur kubbunum (talin að ofan) hefur samhverfumiðju í punkti B, þá er B þyngdarmiðjan. Skilgreinum rúmfræðilega þyngdarmiðju kerfisins, sem samanstendur af þremur efri kubbunum. Hér nægir mjög einföld rök. Við skulum skipta þriggja blokka samsetningunni andlega í tvo efri og þriðja neðri. Þessi miðja verður að liggja á hlutanum sem tengir þyngdarpunkta hlutanna tveggja. Á hvaða tímapunkti í þessum þætti?

Það eru tvær leiðir til að tilnefna. Í þeim fyrri munum við nota þá athugun að þessi miðja verður að liggja í miðjum þriggja blokka pýramídanum, þ.e.a.s. á beinni línu sem sker annan miðreitinn. Á annan hátt skiljum við að þar sem tveir efstu blokkirnar hafa tvöfaldan heildarmassa einnar blokkar #3 (efst), verður þyngdarmiðjan á þessum hluta að vera tvöfalt nærri B en hún er miðjunni. S af þriðju blokk. Á sama hátt finnum við næsta punkt: við tengjum fundna miðju kubbanna þriggja við miðju S í fjórða reitnum. Miðja alls kerfisins er á hæð 2 og á þeim punkti sem deilir hlutanum með 1 í 3 (þ.e. um ¾ af lengdinni).

Útreikningarnir sem við munum framkvæma aðeins lengra leiða til niðurstöðunnar sem sýnd er á mynd. mynd 3. Þyngdarpunktar í röð eru fjarlægðir frá hægri brún neðri blokkarinnar með því að:

Þannig er vörpun þyngdarmiðju pýramídans alltaf innan grunnsins. Turninn mun ekki velta. Nú skulum við líta á mynd. 3 og í smá stund skulum við nota fimmta blokkina frá toppnum sem grunn (þá sem er merktur með bjartari litnum). Efstu hneigðir:

þannig er vinstri brún hans 1 lengra en hægri brún grunnsins. Hér er næsta sveifla:

Hver er stærsta sveiflan? Við vitum nú þegar! Það er enginn stærsti! Ef þú tekur jafnvel minnstu kubba geturðu náð einum kílómetra yfirhengi - því miður, aðeins stærðfræðilega: öll jörðin myndi ekki duga til að byggja svo marga kubba!

Hrísgrjón. 3. Bættu við fleiri kubbum

Nú eru útreikningarnir sem við skildum eftir hér að ofan. Við munum reikna allar vegalengdir "lárétt" á x-ásnum, því það er allt sem þarf. Punktur A (þyngdarmiðja fyrsta blokkar) er 1/2 frá hægri brún. Punktur B (miðja tveggja blokka kerfisins) er 1/4 fjarlægð frá hægri brún seinni blokkarinnar. Látum upphafspunktinn vera lok annarrar blokkar (nú förum við yfir í þann þriðja). Til dæmis, hvar er þyngdarpunktur eins blokkar #3? Hálf lengd þessarar blokkar er því 1/2 + 1/4 = 3/4 frá viðmiðunarpunkti okkar. Hvar er punktur C? Í tveimur þriðju hluta hlutans á milli 3/4 og 1/4, þ.e. á punktinum á undan, breytum við viðmiðunarpunktinum í hægri brún þriðja blokkarinnar. Þyngdarpunktur þriggja blokka kerfisins er nú fjarlægður frá nýja viðmiðunarpunktinum o.s.frv. Þyngdarmiðja C_n turn sem samanstendur af n blokkum er í 1/2n fjarlægð frá augnabliksviðmiðunarpunktinum, sem er hægri brún grunnblokkarinnar, þ.e.a.s. n. blokkina frá toppnum.

Þar sem röð gagnkvæmra þátta er ólík getum við fengið hvaða stóra breytileika sem er. Væri í raun hægt að framkvæma þetta? Hann er eins og endalaus múrsteinsturn - fyrr eða síðar mun hann hrynja af eigin þunga. Í kerfinu okkar þýðir lágmarks ónákvæmni í staðsetningu blokkar (og hæg aukning á hlutafjárhæðum seríunnar) að við komumst ekki langt.