Geómetrískir stígar og kjarr

Þegar ég skrifaði þessa grein minntist ég mjög gamals lags eftir Jan Pietrzak, sem hann söng áður en háðsádeilu sína í kabarettnum Pod Egidą, viðurkenndur í pólska alþýðulýðveldinu sem öryggisventill; maður gæti satt að segja hlegið að þversögnum kerfisins. Í þessu lagi mælti höfundur með sósíalískri stjórnmálaþátttöku, gerði grín að þeim sem vilja vera ópólitískir og slökkti á útvarpinu í blaðinu. „Það er betra að fara aftur í skólalestur,“ söng hinn XNUMX ára gamli Petshak kaldhæðnislega.

Ég er að fara aftur í skólann að lesa. Ég er að endurlesa (ekki í fyrsta skipti) bók Shchepan Yelensky (1881-1949) „Lylavati“. Fyrir fáa lesendur segir orðið sjálft eitthvað. Þetta er nafn dóttur hins fræga hindúastærðfræðings, þekktur sem Bhaskara (1114-1185), að nafni Akaria, eða spekingurinn sem nefndi bók sína um algebru með því nafni. Lilavati varð síðar þekktur stærðfræðingur og heimspekingur sjálf. Samkvæmt öðrum heimildum var það hún sem skrifaði bókina sjálf.

Szczepan Yelensky gaf bók sinni um stærðfræði sama titil (fyrsta útgáfa, 1926). Það getur jafnvel verið erfitt að kalla þessa bók stærðfræðiverk - hún var meira púsl og að mestu endurskrifuð úr frönskum heimildum (höfundarréttur í nútímaskilningi var ekki til). Hvað sem því líður var hún í mörg ár eina vinsæla pólska bókin um stærðfræði - síðar bættist önnur bók Jelenskys, Sælgæti Pýþagórasar, við hana. Þannig að ungt fólk sem hafði áhuga á stærðfræði (sem er nákvæmlega það sem ég var einu sinni) hafði ekkert úr að velja ...

aftur á móti þurfti "Lilavati" að vera þekkt nánast utanbókar... Ah, það komu tímar... Stærsti kostur þeirra var að ég var... unglingur þá. Í dag, frá sjónarhóli vel menntaðs stærðfræðings, lít ég á Lilavati á allt annan hátt - kannski eins og fjallgöngumaður í beygjum leiðarinnar til Shpiglasova Pshelench. Hvorki einn né annar missir sjarmann ... Í einkennandi stíl sínum skrifar Shchepan Yelensky, sem játar hinar svokölluðu þjóðlegu hugmyndir í persónulegu lífi sínu, í formálanum:

Án þess að snerta lýsingu á þjóðareiginleikum mun ég segja að jafnvel eftir níutíu ár hafa orð Yelenskys um stærðfræði ekki glatað mikilvægi sínu. Stærðfræði kennir þér að hugsa. Það er staðreynd. Getum við kennt þér að hugsa öðruvísi, einfaldari og fallegri? Kannski. Það er bara... við getum það samt ekki. Ég útskýri fyrir nemendum mínum sem vilja ekki gera stærðfræði að þetta er líka próf á greind þeirra. Ef þú getur ekki lært mjög einfalda stærðfræðikenningu, þá... eru andlegir hæfileikar þínir kannski verri en við viljum bæði...?

Merki í sandinum

Og hér er fyrsta sagan í "Lylavati" - sögu sem franski heimspekingurinn Joseph de Maistre (1753-1821) lýsti.

Sjómaður af flakandi skipi kastaðist í öldugangi á auða strönd sem hann taldi óbyggða. Allt í einu, í strandsandinum, sá hann snefil af rúmfræðilegri mynd sem var teiknuð fyrir framan einhvern. Það var þá sem hann áttaði sig á því að eyjan er ekki í eyði!

Yelensky, sem vitnar í de Mestri, skrifar: rúmfræðileg myndþað hefði verið þögul tjáning fyrir óheppilega, skipbrotsmenn, tilviljun, en hann sýndi honum í fljótu bragði hlutfall og fjölda, og þetta boðaði upplýstan mann. Svo mikið til sögunnar.

Athugið að sjómaður mun valda sömu viðbrögðum, til dæmis með því að teikna bókstafinn K, ... og önnur ummerki um nærveru manns. Hér er rúmfræðin hugsuð.

Stjörnufræðingurinn Camille Flammarion (1847-1925) lagði hins vegar til að siðmenningar heilsaði hver annarri úr fjarlægð með rúmfræði. Hann sá í þessu eina rétta og mögulega tilraun til samskipta. Sýnum slíkum Marsbúum Pythagorean þríhyrninga... þeir munu svara okkur með Þales, við munum svara þeim með Vieta mynstrum, hringur þeirra mun passa inn í þríhyrning, svo vinátta hófst...

Rithöfundar eins og Jules Verne og Stanislav Lem sneru aftur að þessari hugmynd. Og árið 1972 voru flísar með rúmfræðilegu (og ekki aðeins) mynstri settar um borð í Pioneer rannsakandanum, sem fer enn yfir víðáttur geimsins, nú næstum 140 stjarnfræðilegar einingar frá okkur (1 I er meðalfjarlægð jarðar frá jörðu) . Sól, þ.e. um 149 milljónir km). Flísar voru hönnuð að hluta af stjörnufræðingnum Frank Drake, skapara hinnar umdeildu reglu um fjölda geimvera siðmenningar.

Rúmfræði er ótrúleg. Við þekkjum öll almennt sjónarhorn á uppruna þessara vísinda. Við (við mennirnir) erum nýbyrjuð að mæla landið (og síðar landið) í mestu nytjaskyni. Að ákvarða fjarlægðir, teikna beinar línur, merkja rétt horn og reikna rúmmál varð smám saman nauðsyn. Þess vegna allt málið rúmfræði ("Mæling jarðar"), þess vegna öll stærðfræði ...

Samt sem áður, um nokkurt skeið skýldi þessi skýra mynd af sögu vísindanna okkur. Því ef stærðfræði þyrfti eingöngu í rekstrarlegum tilgangi, þá myndum við ekki taka þátt í að sanna einfaldar setningar. „Þú sérð að þetta ætti yfirhöfuð að vera satt,“ myndi maður segja eftir að hafa athugað að í nokkrum rétthyrndum þríhyrningum er summa ferninga undirstöngarinnar jöfn veldi undirstöngarinnar. Hvers vegna slík formalismi?

Plómubaka þarf að vera ljúffeng, tölvuforritið þarf að virka, vélin þarf að virka. Ef ég teldi rúmtak tunnunnar þrjátíu sinnum og allt er í lagi, hvers vegna annars?

Í millitíðinni datt forn-Grikkum í hug að það þyrfti að finna einhverjar formlegar sannanir.

Svo, stærðfræði byrjar á Thales (625-547 f.Kr.). Gert er ráð fyrir að það hafi verið Míletus sem fór að velta fyrir sér hvers vegna. Það er ekki nóg fyrir klárt fólk að það hafi séð eitthvað, að það sé sannfært um eitthvað. Þeir sáu þörfina fyrir sönnun, rökrétta röð af rökum frá forsendum til ritgerðar.

Þeir vildu líka meira. Það var líklega Thales sem fyrst reyndi að útskýra líkamleg fyrirbæri á náttúrulegan hátt, án guðlegrar íhlutunar. Evrópsk heimspeki hófst með náttúruspeki - með því sem er þegar að baki eðlisfræði (þar af leiðandi nafnið: frumspeki). En grundvöllur evrópskrar verufræði og náttúruheimspeki var lagður af Pýþagóríumönnum (Pýþagóras, um 580-um 500 f.Kr.).

Hann stofnaði sinn eigin skóla í Crotone á suðurhluta Apennaskaga - í dag myndum við kalla það sértrúarsöfnuð. Vísindi (í núverandi merkingu orðsins), dulspeki, trúarbrögð og fantasíur eru allt nátengd. Thomas Mann kynnti stærðfræðikennsluna í þýsku íþróttahúsi á mjög fallegan hátt í skáldsögunni Doctor Faustus. Þýtt af Maria Kuretskaya og Witold Virpsha segir þetta brot:

Í áhugaverðri bók Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, fann ég mjög áhugavert sjónarhorn. Í einum kafla lýsir höfundur mikilvægi Pýþagórasskólans. Sjálfur titill kaflans sló mig. Þar stendur: „The Invention of Mathematics: The Pythagoreans“.

Við ræðum oft hvort verið sé að uppgötva stærðfræðikenningar (td óþekkt land) eða finna upp (td vélar sem voru ekki til áður). Sumir skapandi stærðfræðingar líta á sig sem rannsakendur, aðrir sem uppfinningamenn eða hönnuði, eru sjaldnar á móti.

En höfundur þessarar bókar skrifar almennt um uppfinningu stærðfræðinnar.

Frá ýkjum til blekkingar

Eftir þennan langa inngangshluta mun ég halda áfram í byrjunina. rúmfræðitil að lýsa því hvernig oftrú á rúmfræði getur villt vísindamann afvega. Johannes Kepler er þekktur í eðlisfræði og stjörnufræði sem uppgötvaði þriggja hreyfilögmáls himintungla. Í fyrsta lagi hreyfist hver pláneta í sólkerfinu í kringum sólina á sporöskjulaga braut, á einum brennipunkti hennar er sólin. Í öðru lagi, með reglulegu millibili dregur fremsti geisli plánetunnar, dreginn frá sólinni, jafna svið. Í þriðja lagi er hlutfallið á veldi snúningstímabils reikistjarna í kringum sólina og teningur hálfháttás brautar hennar (þ.e. meðalfjarlægð frá sólu) stöðugt fyrir allar reikistjörnur í sólkerfinu.

Kannski var þetta þriðja lögmálið - það þurfti mikið af gögnum og útreikningum til að staðfesta það, sem varð til þess að Kepler hélt áfram að leita að mynstrum í hreyfingum og staðsetningu plánetanna. Saga nýrrar "uppgötvunar" hans er mjög lærdómsrík. Frá fornöld höfum við ekki aðeins dáðst að venjulegum fjölhúðum, heldur einnig rökum sem sýna að þeir eru aðeins fimm í geimnum. Þrívíddar marghyrningur er kallaður reglulegur ef flötir hans eru eins reglulegir marghyrningar og hver hornpunktur hefur jafnmarga brúnir. Til dæmis ætti hvert horn á venjulegum marghneti að "líta eins út". Frægasta margliðurinn er teningurinn. Allir hafa séð venjulegan ökkla.

Venjulegur fjórþungi er minna þekktur og í skóla er hann kallaður hinn venjulegi þríhyrningspýramídi. Það lítur út eins og pýramídi. Hinar þrjár venjulegu marghnetur eru minna þekktar. Átþráður myndast þegar við tengjum saman miðju jaðra teninga. Dodecahedron og icosahedron líta nú þegar út eins og kúlur. Úr mjúku leðri væri þægilegt að grafa þær. Rökin fyrir því að það séu engar venjulegar fjölhúður aðrar en platónsku föst efnin fimm eru mjög góð. Í fyrsta lagi gerum við okkur grein fyrir því að ef líkaminn er reglulegur, þá verður sami fjöldi (látum q) af eins reglulegum marghyrningum að renna saman við hvern hornpunkt, látum þetta vera p-horn. Nú þurfum við að muna hvert er hornið í venjulegum marghyrningi. Ef einhver man ekki eftir skólanum minnum við á hvernig á að finna rétta munstrið. Við fórum í ferð handan við hornið. Við hvern hornpunkt snúum við í gegnum sama hornið a. Þegar við förum í kringum marghyrninginn og komum aftur á upphafsstaðinn höfum við gert p slíkar beygjur og samtals höfum við snúið 360 gráður.

En α er 180 gráðu viðbót við hornið sem við viljum reikna og er því

Við höfum fundið formúluna fyrir horn (stærðfræðingur myndi segja: mælikvarða á horn) á reglulegum marghyrningi. Athugum: í þríhyrningnum p = 3 er ekkert a

Svona. Þegar p = 4 (ferningur), þá

gráður er líka fínt.

Hvað fáum við fyrir fimmhyrning? Svo hvað gerist þegar það eru q marghyrningar, hver p hefur sömu horn

 gráður lækkandi í einum hornpunkti? Ef það væri á plani myndi horn myndast

gráður og má ekki vera meira en 360 gráður - því þá skarast marghyrningarnir.

Hins vegar, þar sem þessir marghyrningar mætast í geimnum, verður hornið að vera minna en allt hornið.

Og hér er ójöfnuðurinn sem allt leiðir af:

Deilið því með 180, margfaldið báða hlutana með p, röð (p-2) (q-2) < 4. Hvað kemur á eftir? Við skulum vera meðvituð um að p og q verða að vera náttúrulegar tölur og að p > 2 (af hverju? Og hvað er p?) og einnig q > 2. Það eru ekki margar leiðir til að gera margfeldi tveggja náttúrulegra talna minna en 4. Við mun skrá þá alla. í töflu 1.

Ég birti ekki teikningar, allir geta séð þessar fígúrur á Netinu... Á Netinu... Ég mun ekki neita ljóðrænni útrás - kannski er hún áhugaverð fyrir unga lesendur. Árið 1970 talaði ég á málþingi. Umræðuefnið var erfitt. Ég hafði lítinn tíma til að undirbúa mig, ég sat á kvöldin. Aðalgreinin var skrifvarinn á sínum stað. Staðurinn var notalegur, með vinnustemningu, jæja, hann lokaði klukkan sjö. Þá bauðst brúðurin (nú konan mín) sjálf til að endurskrifa alla greinina fyrir mig: um tug prentaðra blaðsíðna. Ég afritaði það (nei, ekki með fjaðrapenna, við áttum meira að segja penna), fyrirlesturinn heppnaðist vel. Í dag reyndi ég að finna þetta rit, sem er þegar orðið gamalt. Ég man bara nafn höfundarins... Leit á netinu stóð lengi yfir... heilar fimmtán mínútur. Ég hugsa um það með hlátri og smá óréttmætri eftirsjá.

Við förum aftur til Keplera og geometrii. Svo virðist sem Platon spáði fyrir um tilvist fimmta reglulegu formsins vegna þess að hann skorti eitthvað sameinandi, sem þekur allan heiminn. Kannski var það þess vegna sem hann sagði nemanda (Theajtet) að leita að henni. Eins og það var, svo var það, á grundvelli þess sem dodecahedron var uppgötvað. Þetta viðhorf Platóns köllum við pantheism. Allir vísindamenn, allt að Newton, féllu fyrir því að meira eða minna leyti. Frá mjög skynsamlegri átjándu öld hafa áhrif hennar dvínað verulega, þó við ættum ekki að skammast okkar fyrir það að við látum öll undan henni á einn eða annan hátt.

Í hugmynd Keplers um að byggja sólkerfið var allt rétt, tilraunagögnin féllu saman við kenninguna, kenningin var rökfræðilega samfelld, mjög falleg ... en algjörlega röng. Á hans tíma voru aðeins sex plánetur þekktar: Merkúríus, Venus, Jörðin, Mars, Júpíter og Satúrnus. Af hverju eru aðeins sex plánetur? spurði Kepler. Og hvaða regluleiki ræður fjarlægð þeirra frá sólu? Hann gerði ráð fyrir að allt væri tengt, það rúmfræði og heimsmynd eru náskyld hvert öðru. Af ritum Forn-Grikkja vissi hann að það voru aðeins fimm reglulegar fjölhúður. Hann sá að það voru fimm tóm á milli brautanna sex. Þannig að kannski samsvarar hvert af þessum lausu rýmum einhverjum venjulegum marghnöttum?

Eftir nokkurra ára athuganir og fræðilega vinnu bjó hann til eftirfarandi kenningu, með hjálp hennar reiknaði hann nákvæmlega út stærð brautanna, sem hann kynnti í bókinni "Mysterium Cosmographicum", sem kom út árið 1596: Ímyndaðu þér risakúlu, þvermál þess er þvermál brautar Merkúríusar í árlegri hreyfingu hans í kringum sólina. Ímyndaðu þér síðan að á þessari kúlu sé venjulegur áttundur, á henni kúlu, á henni kóróna, á henni aftur kúlu, á henni tvíþykkt, á henni önnur kúlu, á henni fjórþunga, svo aftur kúla, teningur og að lokum, á þessum teningi er boltanum lýst.

Kepler komst að þeirri niðurstöðu að þvermál þessara kúlu í röð væri þvermál brauta annarra reikistjarna: Merkúríus, Venusar, Jörðarinnar, Mars, Júpíters og Satúrnusar. Kenningin virtist vera mjög nákvæm. Því miður fór þetta saman við tilraunagögnin. Og hvaða betri sönnun fyrir réttmæti stærðfræðilegrar kenningu en samsvörun hennar við tilraunagögn eða athugunargögn, sérstaklega „tekin af himnum“? Ég dreg þessa útreikninga saman í töflu 2. Svo hvað gerði Kepler? Ég reyndi og reyndi þar til það gekk upp, það er að segja þegar uppsetningin (kúluröðin) og útreikningarnir sem urðu til féllu saman við athugunargögnin. Hér eru nútíma Kepler tölur og útreikningar:

Maður getur fallið fyrir hrifningu kenningarinnar og trúað því að mælingar á himninum séu ónákvæmar, en ekki útreikningar sem gerðir eru í þögn smiðjunnar. Því miður vitum við í dag að það eru að minnsta kosti níu plánetur og að allar tilviljanir niðurstöður eru bara tilviljun. Skömm. Það var svo fallegt...