Litaðir ferningar og sólmyrkvi

Greinin lýsir kennslustundum mínum fyrir nemendur á miðstigi - styrkhafa Barnahjálparsjóðs. Stofnunin leitar til sérstaklega hæfileikaríkra barna og ungmenna (frá XNUMX. bekk grunnskóla til framhaldsskóla) og býður upp á „styrki“ til valinna nemenda. Hins vegar felast þau alls ekki í því að taka út reiðufé, heldur í alhliða umönnun fyrir þróun hæfileika, að jafnaði í mörg ár. Ólíkt mörgum öðrum verkefnum af þessu tagi taka þekktir vísindamenn, menningarvitar, áberandi húmanistar og annað viturt fólk, auk nokkurra stjórnmálamanna, deildir sjóðsins alvarlega.

Starfsemi sjóðsins nær til allra greina sem eru grunngreinar skólans, nema íþróttagreina, þar á meðal myndlistar. Sjóðurinn var stofnaður árið 1983 sem mótefni við þáverandi veruleika. Allir geta sótt um í sjóðinn (oftast í gegnum skóla, helst fyrir lok skólaárs) en að sjálfsögðu er ákveðið sigti, ákveðið hæfisferli.

Eins og ég hef áður nefnt er greinin byggð á meistaranámskeiðum mínum, nánar tiltekið í Gdynia, í mars 2016, í 24. unglingaskólanum í III menntaskólanum. sjóher. Í mörg ár hafa þessar málstofur verið skipulagðar undir merkjum stofnunarinnar af Wojciech Thomalczyk, kennara um einstakan karisma og hátt vitsmunalegt stigi. Árið 2008 komst hann á topp tíu í Póllandi, sem hlaut titilinn prófessor í uppeldisfræði (sem kveðið var á um í lögum fyrir mörgum árum). Það eru smá ýkjur í yfirlýsingunni: „Menntun er ás heimsins“.

og tunglið eru alltaf heillandi - þá finnur maður að við búum á pínulitli plánetu í risastóru rými, þar sem allt er á hreyfingu, mælt í sentimetrum og sekúndum. Það hræðir mig meira að segja svolítið, líka tímasjónarmiðið. Við komumst að því að næsti almyrkvi, sýnilegur frá svæðinu í Varsjá í dag, verður í ... 2681. Ég velti því fyrir mér hver mun sjá það? Stærðir sólar og tungls á himni okkar eru nánast þær sömu - þess vegna eru myrkvinn svo stuttir og svo stórbrotnir. Um aldir ættu þessar stuttu mínútur að duga stjörnufræðingum til að sjá sólkórónuna. Það er skrítið að þær gerist tvisvar á ári... en það þýðir bara að einhvers staðar á jörðinni sést þær í stuttan tíma. Vegna sjávarfallahreyfinga fjarlægist tunglið frá jörðinni - eftir 260 milljón ár verður það svo langt í burtu að við (við???) munum aðeins sjá hringlaga myrkva.

Greinilega sá fyrsti til að spá myrkvi, var Þales frá Míletus (28-585 öldum f.Kr.). Við munum líklega ekki vita hvort það gerðist í raun og veru, það er að segja hvort hann spáði því, því sú staðreynd að myrkvinn í Litlu-Asíu átti sér stað í maí 567, 566 f.Kr., er staðreynd sem er staðfest með nútíma útreikningum. Auðvitað vitna ég í gögn fyrir frásögn dagsins í dag. Þegar ég var barn ímyndaði ég mér hvernig fólk taldi ár. Svo þetta er til dæmis XNUMX f.Kr., gamlárskvöld er að koma og fólk fagnar: aðeins XNUMX ár f.Kr.! Þeir hljóta að hafa verið ánægðir þegar „árið okkar“ loksins rann upp! Þvílík aldamót sem við upplifðum fyrir nokkrum árum!

Stærðfræði við að reikna út dagsetningar og tímabil myrkvi, er ekki sérlega flókið, en er stútfullt af alls kyns þáttum sem tengjast reglusemi og, það sem verra er, ójafnri hreyfingu líkamans á brautum. Mig langar meira að segja að vita þessa stærðfræði. Hvernig gat Þales frá Míletos gert nauðsynlega útreikninga? Svarið er einfalt. Þú verður að hafa himnakort. Hvernig á að gera svona kort? Þetta er heldur ekki erfitt, Egyptar til forna vissu hvernig á að gera það. Á miðnætti koma tveir prestar út á þak musterisins. Hver þeirra sest niður og teiknar það sem hann sér (eins og kollegi hans). Eftir tvö þúsund ár vitum við allt um hreyfingu reikistjarnanna ...

Falleg rúmfræði, eða gaman á "mottunni"

Grikkir líkaði ekki við tölur, þeir gripu til rúmfræði. Þetta er það sem við munum gera. Okkar myrkvi þau verða einföld, litrík en jafn áhugaverð og raunveruleg. Við samþykkjum þá venju að bláa myndin hreyfist þannig að hún myrkvi þá rauðu. Köllum bláu myndina tunglið og rauðu sólina. Við spyrjum okkur eftirfarandi spurninga:

1. hversu lengi varir myrkvi;
2. þegar helmingur marksins er hulinn;

   Hrísgrjón. 1 Marglitað "teppi" með sól og tungli

3. hver er hámarkstryggingin;
4. er hægt að greina háð skjaldþekjunnar á réttum tíma? Í þessari grein (ég er takmörkuð við magn texta) mun ég einbeita mér að seinni spurningunni. Á bak við þetta er fín rúmfræði, kannski án leiðinlegra útreikninga. Við skulum líta á mynd. 1. Má gera ráð fyrir að það tengist ... sólmyrkva?

Ég verð satt að segja að þau verkefni sem ég mun fjalla um verða sérstaklega valin, sniðin að þekkingu og færni mið- og framhaldsskólanema. En við þjálfum okkur í slíkum verkefnum eins og tónlistarmenn spila skala og íþróttamenn gera almennar þroskaæfingar. Þar að auki, er þetta ekki bara falleg motta (mynd 1)?

Hrísgrjón. 2 „Blát“ tungl og „rauð“ sól

Himintunglarnir okkar, að minnsta kosti í upphafi, verða litaðir ferningar. Tunglið er blátt, sólin er rauð (best til að lita). með nútíðinni myrkvi Tunglið eltir sólina yfir himininn, nær ... og lokar henni. Það verður eins hjá okkur. Einfaldasta tilvikið, þegar tunglið hreyfist miðað við sólina, eins og sýnt er á mynd. 2. Myrkvi hefst þegar brún tunglskífunnar snertir brún sólarskífunnar (mynd 2) og endar þegar hann fer út fyrir hana.

Hrísgrjón. 3 Tunglið nálgast sólina á ská

Við gerum ráð fyrir að „Tunglið“ hreyfist um eina frumu á tímaeiningu, til dæmis á mínútu. Myrkvinn varir þá í átta tímaeiningar, segjum mínútur. Hálf sólmyrkvi alveg deyfður Helmingur skífunnar er lokaður tvisvar: eftir 2 og 6 mínútur. Hlutfallsþynningargrafið er einfalt. Á fyrstu tveimur mínútunum lokar skjöldurinn jafnt á hraðanum núll til 1, næstu tvær mínúturnar verður hann afhjúpaður á sama hraða.

Hér er áhugaverðara dæmi (mynd 3). Tunglið nálgast sólina á ská. Samkvæmt mínútugreiðslusamningi okkar varir myrkvinn 8√2 mínútur - um miðjan þennan tíma er almyrkvi. Við skulum reikna út hvaða hluti sólarinnar er hulinn eftir tíma t (mynd 3). Ef t mínútur eru liðnar frá upphafi myrkvans og þar af leiðandi er tunglið eins og sýnt er á mynd. 5, þá (athugið!) Þess vegna er það þakið (flatarmál ferningsins APQR), jafnt og helmingur sólardisksins; þess vegna var það hulið þegar, þ.e. eftir 4 mínútur (þá 4 mínútum fyrir lok myrkvans).

Hrísgrjón. 4 Línurit af „skygging“ fallinu

Heild varir í eina stund (t = 4√2), og línurit "skyggða hluta" fallsins samanstendur af tveimur bogum af fleygbogum (mynd 4).

Bláa tunglið okkar mun snerta hornið með rauðu sólinni, en það mun hylja það, fara ekki á ská, heldur aðeins á ská. Áhugaverð rúmfræði birtist þegar við flækjum hreyfinguna aðeins (mynd 6). Hreyfingarstefnan er nú vektor [4,3], það er "fjórar frumur til hægri, þrjár frumur upp." Staða sólar er þannig að myrkvinn hefst (staða A) þegar hliðar „himinanna“ renna saman í fjórðung af lengd þeirra. Þegar tunglið færist í stöðu B mun það myrkva einn sjötta hluta sólar og í stöðu C mun það myrkva helming. Í stöðu D fáum við almyrkva og svo fer allt aftur, "eins og það var."

Hrísgrjón. 5 Hluti sólarinnar falinn á tíma t

Myrkvanum lýkur þegar tunglið er í stöðu G. Hann varði eins lengi og kafla lengd AG. Ef við tökum eins og áður sem tímaeiningu þann tíma sem tunglið fer yfir „einn ferning“, þá er lengd AG jöfn. Ef við færum aftur til gamla samþykktarinnar að himintunglar okkar séu 4 sinnum 4, þá væri niðurstaðan önnur (hvað?). Eins og auðvelt er að sýna lokar markið eftir t < 15. Grafið yfir „hlutfall skjáþekju“ fallsins má sjá á mynd. 6.

Hrísgrjón. 6 Graf af "prósentavernd" fallinu

Myrkvi og stökkjafna

Hrísgrjón. 7 Hindrun á sólskífunni við myrkvann sem sýndur er á mynd. 6

Vandamálið við myrkva væri ófullkomið ef við litum ekki á hringi. Þetta er miklu flóknara, en við skulum reyna að átta okkur á því hvenær einn hringur myrkvar helminginn af hinum - og í einfaldasta tilfellinu, þegar annar þeirra hreyfist eftir þvermálinu sem tengir þá báða. Teikningin kannast handhafar einhvers kreditkorts.

Útreikningur á staðsetningu reitanna er flókinn, þar sem það krefst í fyrsta lagi þekkingu á formúlunni fyrir flatarmál hringlaga hluta, í öðru lagi þekkingu á boga hornsins og í þriðja lagi (og verst af öllu), getu. að leysa ákveðna stökkjöfnu. Ég mun ekki útskýra hvað "transitive equation" er, við skulum skoða dæmi (mynd 8).

Hrísgrjón. 8 „Kúlulaga“ myrkvi

Hringlaga hluti er „bikarinn“ sem verður eftir eftir að hafa skorið hring með beinni línu. Flatarmál slíks hluta er S = 1/2r²(φ-sinφ), þar sem r er radíus hringsins og φ er miðhornið sem línan hvílir á (mynd 8). Þetta fæst auðveldlega með því að draga flatarmál þríhyrningsins frá flatarmáli hringlaga geirans.

Þáttur O₁O₂ (fjarlægðin milli miðju hringjanna) er þá jöfn 2rcosφ/2, og hæðin (breidd, „mittislína“) h = 2rsinφ/2. Svo, ef við viljum reikna út hvenær tunglið mun þekja helming sólarskífunnar, þurfum við að leysa jöfnuna: sem, eftir einföldun, verður:

Hrísgrjón. 9 Gröf af tveimur föllum

Lausn slíkra jöfnna fer út fyrir einfalda algebru - jöfnan inniheldur bæði horn og hornafræðiföll þeirra. Jafnan er utan seilingar hefðbundinna aðferða. Þess vegna er það kallað að hoppa. Lítum fyrst á línurit beggja falla, þ.e. falla og falla. Við getum lesið áætlaða lausn úr þessari mynd. Hins vegar getum við fengið endurtekna nálgun eða ... notað lausnarvalkostinn í Excel töflureikninum. Allir menntaskólanemar ættu að geta þetta, því það er 20. öldin. Ég notaði flóknari Mathematica tól og hér er lausnin okkar með XNUMX aukastöfum af óþarfa nákvæmni:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Hrísgrjón. 10 Hreyfimynd af myrkva í matematica

Við breytum þessu í gráður með því að margfalda með 180/π. Við fáum 132 gráður, 20 mínútur, 45 og fjórðung úr bogasekúndu. Við reiknum út að fjarlægðin að miðju hringsins sé O₁O₂ = 0,808 radíus og "mitti" 2,310.