SVO TIL HVERJUM, það er: PRÓFIÐ HVER ÞÚ GETUR - hluti 2

Í fyrri þættinum fjölluðum við um Sudoku, reiknileik þar sem tölum er í grundvallaratriðum raðað í ýmsar skýringarmyndir eftir ákveðnum reglum. Algengasta afbrigðið er 9×9 skákborð, að auki skipt í níu 3×3 hólf. Tölurnar frá 1 til 9 verða að setja á það þannig að þær endurtaki sig hvorki í lóðréttri röð (stærðfræðingar segja: í dálki) eða í láréttri röð (stærðfræðingar segja: í röð) - og þar að auki þannig að þeir endurtaka sig ekki. endurtaktu innan hvers smærri fernings.

Na mynd. 1 við sjáum þessa þraut í einfaldari útgáfu, sem er 6 × 6 ferningur skipt í 2 × 3 ferhyrninga. Við setjum tölurnar 1, 2, 3, 4, 5, 6 inn í hana - svo þær endurtaki sig ekki lóðrétt, hvorki lárétt, né í hverjum sexhyrningi sem valinn er.

Við skulum reyna sýnt í efsta reitnum. Geturðu fyllt það út með tölum frá 1 til 6 samkvæmt reglum sem settar eru fyrir þennan leik? Það er mögulegt - en óljóst. Við skulum sjá - teiknaðu ferning til vinstri eða ferning til hægri.

Við getum sagt að þetta sé ekki grunnurinn að þrautinni. Við gerum venjulega ráð fyrir að þraut hafi eina lausn. Verkefnið að finna mismunandi undirstöður fyrir "stóra" Sudoku, 9x9, er erfitt verkefni og engar líkur á að leysa það alveg.

Önnur mikilvæg tenging er misvísandi kerfi. Ekki er hægt að fylla út neðsta miðreitinn (þann með tölunni 2 neðst í hægra horninu). Hvers vegna?

Skemmtun og undanhald

Við spilum áfram. Notum innsæi barna. Þeir telja að skemmtun sé kynning á námi. Förum út í geiminn. kveikt á mynd. 2 allir sjá ristina tetrahedronúr boltum, til dæmis borðtennisboltum? Minntu á rúmfræðikennslu í skólanum. Litirnir vinstra megin á myndinni útskýra hvað það er límt á þegar kubburinn er settur saman. Sérstaklega verða þrjár hornkúlur (rauðar) límdar í eina. Þess vegna verða þeir að vera sama númerið. Kannski 9. Hvers vegna? Og hvers vegna ekki?

Ó, ég orðaði það ekki verkefni. Það hljómar eitthvað á þessa leið: er hægt að skrifa tölurnar frá 0 til 9 í sýnilega ristina þannig að hver flötur innihaldi allar tölurnar? Verkefnið er ekki erfitt, en hversu mikið þú þarft að ímynda þér! Ég mun ekki spilla ánægju lesenda og mun ekki gefa lausn.

Þetta er mjög fallegt og vanmetið form. venjulegur áttundur, byggður úr tveimur pýramídum (=pýramídum) með ferhyrndum grunni. Eins og nafnið gefur til kynna hefur áttundurinn átta andlit.

Það eru sex hornpunktar í áttundu. Það stangast á við teningursem hefur sex andlit og átta hornpunkta. Brúnir beggja klumpanna eru eins - tólf hvor. Þetta tvöfalt fast efni - þetta þýðir að með því að tengja saman miðpunkta andlita teningsins fáum við áttund og miðstöðvar hliðanna á teningnum gefa okkur tening. Báðar þessar hnökrar standa sig ("vegna þess að þær verða að") Euler formúla: Summa fjölda hornpunkta og fjölda flöta er 2 fleiri en fjöldi brúna.

3. Venjulegur áttundur í samhliða útvarpi og áttundargrind sem er þannig úr kúlum að hver brún hefur fjórar kúlur.

Dæmi 1. Fyrst skaltu skrifa niður síðustu setninguna í fyrri málsgrein með stærðfræðilegri formúlu. Á mynd. 3 þú sérð átthyrnt rist, einnig byggt upp úr kúlum. Hver brún hefur fjórar kúlur. Hvert andlit er þríhyrningur með tíu kúlum. Vandamálið er stillt sjálfstætt: er hægt að setja tölur frá 0 til 9 í hringi ristarinnar þannig að eftir að hafa límt fastan líkama, innihaldi hver veggur allar tölurnar (það fylgir það án endurtekningar). Sem fyrr er mesti erfiðleikinn í þessu verkefni hvernig möskvan er umbreytt í fastan líkama. Ég get ekki útskýrt það skriflega, svo ég er ekki að gefa lausnina hér heldur.

4. Tveir kórónablöð úr borðtennisboltum. Taktu eftir mismunandi litasamsetningu.

þegar Plato (og hann lifði á XNUMX.-XNUMX. öld f.Kr.) þekkti allar venjulegu fjölhúðirnar: fjórþunga, teningur, áttundir, dodecahedron i icosahedron. Það er ótrúlegt hvernig hann komst þangað - enginn blýantur, enginn pappír, enginn penni, engar bækur, enginn snjallsími, ekkert internet! Ég ætla ekki að tala um dodecahedron hér. En icosahedral sudoku er áhugavert. Við sjáum þennan klump á mynd 4og net þess mynd 5.

5. Venjulegur möskva í icosahedron.

Sem fyrr er þetta ekki rist í þeim skilningi sem við munum eftir (?!) úr skólanum, heldur leið til að líma þríhyrninga úr kúlum (kúlur).

Dæmi 2. Hversu margar kúlur þarf til að byggja svona ísneið? Stendur eftirfarandi rök enn við: Þar sem hvert flöt er þríhyrningur, ef það eiga að vera 20 flötir, þá þarf allt að 60 kúlur?

6. Grindarnet af kólum úr kúlum. Hver hringur er til dæmis borðtennisbolti, en smíði hringa á hringjum merktum með sama lit rennur saman í einn. Þannig að við höfum tólf kúlur (= tólf hornpunktar: rautt, blátt, fjólublátt, blátt og átta gult).

Auðvelt er að sjá að þrjár tölur í kósóhedrinum duga ekki. Nánar tiltekið: það er ómögulegt að telja upp hornpunkta með tölunum 1, 2, 3 þannig að hvert (þríhyrningslaga) flöt hafi þessar þrjár tölur og það eru engar endurtekningar. Er það mögulegt með fjórum tölum? Já það er hægt! Við skulum skoða Hrísgrjón. 6 og 7.

7. Hér er hvernig á að númera kúlur sem mynda kórónaskálina þannig að hvert flöt inniheldur aðrar tölur en 1, 2, 3, 4. Hver af líkamanum á mynd. 4 er svona litaður?

Dæmi 3. Þrjár af fjórum tölum er hægt að velja á fjóra vegu: 123, 124, 134, 234. Finndu fimm slíka þríhyrninga í helgiþræðinum á mynd. 7 (sem og frá kl myndskreytingar 4).

Verkefni 4 (þarf mjög gott staðbundið ímyndunarafl). Ískórinn hefur tólf hornpunkta, sem þýðir að hægt er að líma hann saman úr tólf kúlum (mynd. 7). Athugaðu að það eru þrír hornpunktar (=kúlur) merktir með 1, þrír með 2, og svo framvegis. Þannig mynda kúlur af sama lit þríhyrning. Hvað er þessi þríhyrningur? Kannski jafnhliða? Horfðu aftur myndskreytingar 4.

Næsta verkefni fyrir afa / ömmu og barnabarn / barnabarn. Foreldrar geta loksins reynt sig líka, en þeir þurfa þolinmæði og tíma.

Dæmi 5. Keyptu tólf (helst 24) borðtennisbolta, einhverja fjóra liti af málningu, pensli og rétta límið - ég mæli ekki með fljótlegum eins og Superglue eða Droplet því þær þorna of fljótt og eru hættulegar börnum. Límdu á icosahedron. Klæddu barnabarnið þitt í stuttermabol sem verður þvegið (eða hent) strax á eftir. Hyljið borðið með filmu (helst með dagblöðum). Litaðu kórónaskórinn varlega með fjórum litum 1, 2, 3, 4, eins og sýnt er á mynd. mynd. 7. Hægt er að breyta röðinni - fyrst lita blöðrurnar og líma þær svo. Á sama tíma þarf að skilja örsmáa hringi eftir ómálaða svo málningin festist ekki við málninguna.

Nú er erfiðasta verkefnið (nánar tiltekið, öll röð þeirra).

Verkefni 6 (Nánar tiltekið, almennt þema). Teiknaðu icosahedron sem fjórþunga og áttund á Hrísgrjón. 2 og 3 Þetta þýðir að það eiga að vera fjórar kúlur á hverri kant. Í þessu afbrigði er verkefnið bæði tímafrekt og jafnvel kostnaðarsamt. Byrjum á því að finna út hversu margar kúlur þú þarft. Hvert andlit hefur tíu kúlur, þannig að kórónabrúnin þarf tvö hundruð? Nei! Við verðum að muna að mörgum boltum er deilt. Hversu margar brúnir hefur icosahedron? Það er hægt að reikna það vandlega, en fyrir hvað er Euler formúlan?

w–k+s=2

þar sem w, k, s eru fjöldi hornpunkta, brúna og flöta í sömu röð. Við minnumst þess að w = 12, s = 20, sem þýðir k = 30. Við höfum 30 brúnir á ísþjöppunni. Þú getur gert það öðruvísi, því ef það eru 20 þríhyrningar, þá hafa þeir aðeins 60 brúnir, en tveir þeirra eru algengir.

Við skulum reikna út hversu margar kúlur þú þarft. Í hverjum þríhyrningi er aðeins ein innri bolti - hvorki efst á líkama okkar né á brúninni. Þannig erum við með alls 20 slíka bolta. Það eru 12 tindar. Hver brún hefur tvær kúlur sem ekki eru hornpunktar (þær eru innan við brúnina, en ekki inni í andlitinu). Þar sem það eru 30 brúnir eru 60 kúlur, en tveir þeirra eru sameiginlegir, sem þýðir að þú þarft aðeins 30 marmara, þannig að þú þarft samtals 20 + 12 + 30 = 62 kúlur. Hægt er að kaupa bolta fyrir að minnsta kosti 50 aura (oftast dýrari). Ef þú bætir við kostnaði við lím, mun það koma út ... mikið. Góð tenging krefst margra klukkustunda vandaðrar vinnu. Saman henta þeir vel í afslappandi dægradvöl - ég mæli með þeim í stað þess að horfa til dæmis á sjónvarpið.

Hörf 1. Í kvikmyndaseríu Andrzej Wajda, Years, Days, tefla tveir menn skák „vegna þess að þeir þurfa einhvern veginn að láta tímann líða fram að kvöldmat“. Hún gerist í Galisísku Kraká. Reyndar: Dagblöð hafa þegar verið lesin (þá voru þau með 4 síður), sjónvarp og sími hafa ekki enn verið fundin upp, það eru engir fótboltaleikir. Leiðindi í pollunum. Í slíkum aðstæðum kom fólk með skemmtiatriði fyrir sig. Í dag höfum við þá eftir að hafa ýtt á fjarstýringuna ...

Hörf 2. Á fundi Félags stærðfræðikennara árið 2019 sýndi spænskur prófessor tölvuforrit sem getur málað trausta veggi í hvaða lit sem er. Það var svolítið hrollvekjandi, því þeir teiknuðu bara hendurnar, skáru næstum líkamann af. Ég hugsaði með mér: hversu gaman getur maður fengið af svona „skyggingu“? Allt tekur tvær mínútur og á þeirri fjórðu munum við ekki eftir neinu. Á meðan róar gamaldags „handvinna“ og fræðir. Hver trúir ekki, láttu hann reyna.

Förum aftur til XNUMX. aldar og til veruleika okkar. Ef við viljum ekki slökun í formi tímafrekra líminga á kúlum, þá teiknum við að minnsta kosti rist af kórónu, þar sem brúnirnar eru með fjórar kúlur. Hvernig á að gera það? Hakkaðu það rétt mynd 6. Eftirtektarsamur lesandi giskar nú þegar á vandamálið:

Dæmi 7. Er hægt að telja upp kúlurnar með tölum frá 0 til 9 þannig að allar þessar tölur komi fram á hverri fleti slíks kórónablaðs?

Hvað erum við að borga fyrir?

Í dag spyrjum við okkur oft spurningarinnar um tilgang starfsemi okkar og "grái skattgreiðandinn" mun spyrja hvers vegna hann ætti að borga stærðfræðingum fyrir að leysa slíkar þrautir?

Svarið er frekar einfalt. Slíkar "þrautir", áhugaverðar í sjálfu sér, eru "brot af einhverju alvarlegra." Þegar öllu er á botninn hvolft eru hersýningar aðeins ytri, stórbrotinn hluti af erfiðri þjónustu. Ég ætla aðeins að nefna eitt dæmi, en ég byrja á undarlegri en alþjóðlega viðurkenndri stærðfræðigrein. Árið 1852 spurði enskur nemandi prófessor sinn hvort hægt væri að lita kort með fjórum litum þannig að nágrannalöndin séu alltaf sýnd í mismunandi litum? Leyfðu mér að bæta við að við teljum ekki "nágranna" þá sem hittast á einum stað, eins og Wyoming og Utah fylki í Bandaríkjunum. Prófessorinn vissi það ekki... og vandamálið hafði beðið lausnar í meira en hundrað ár.

8. Icosahedron frá RECO kubbum. Blissendurskinsmerki sýna hvað kósíþonið á sameiginlegt með þríhyrningnum og fimmhyrningnum. Fimm þríhyrningar renna saman við hvern hornpunkt.

Það gerðist á óvæntan hátt. Árið 1976 skrifaði hópur bandarískra stærðfræðinga forrit til að leysa þetta vandamál (og þeir ákváðu: já, fjórir litir duga alltaf). Þetta var fyrsta sönnunin fyrir stærðfræðilegri staðreynd sem fengin var með hjálp "stærðfræðilegrar vélar" - eins og tölva var kölluð fyrir hálfri öld (og jafnvel fyrr: "rafræn heili").

Hér er sérstaklega sýnt „kort af Evrópu“ (mynd. 9). Þau lönd sem hafa sameiginleg landamæri eru tengd. Að lita kortið er það sama og að lita hringi þessa línurits (kallað grafið) þannig að engir tengdir hringir séu í sama lit. Þegar litið er til Liechtenstein, Belgíu, Frakklands og Þýskalands kemur í ljós að þrír litir eru ekki nóg. Ef þú vilt, lesandi, litaðu það með fjórum litum.

9. Hver á landamæri að hverjum í Evrópu?

Já, en er það peninga skattgreiðenda virði? Svo skulum við líta á sama línuritið aðeins öðruvísi. Gleymdu því að það eru ríki og landamæri. Láttu hringina tákna upplýsingapakka sem á að senda frá einum stað til annars (til dæmis frá P til EST), og hlutar tákna mögulegar tengingar, sem hver um sig hefur sína bandbreidd. Senda sem fyrst?

Í fyrsta lagi skulum við líta á mjög einfaldaða, en einnig mjög áhugaverða aðstæður frá stærðfræðilegu sjónarhorni. Við verðum að senda eitthvað frá punkti S (= sem byrjun) að punkti M (= enda) með því að nota net tenginga með sömu bandbreidd, segjum 1. Við sjáum þetta í mynd. 10.

10. Net tenginga frá Statsyika Zdrój til Megapolis.

Við skulum ímynda okkur að senda þurfi um 89 bita af upplýsingum frá S til M. Höfundur þessara orða hefur gaman af vandræðum með lestir, svo hann ímyndar sér að hann sé framkvæmdastjóri hjá Stacie Zdrój, þaðan sem hann þarf að senda 144 vagna. að Metropolis stöð. Af hverju nákvæmlega 144? Vegna þess að eins og við munum sjá verður þetta notað til að reikna út afköst alls netsins. Afkastageta er 1 í hverri lóð, þ.e. einn bíll getur liðið á tímaeiningu (einn upplýsingabiti, mögulega líka Gígabæti).

Gætum þess að allir bílar hittist á sama tíma í M. Allir komast á 89 tímaeiningar. Ef ég á mjög mikilvægan upplýsingapakka frá S til M til að senda, skipti ég honum upp í hópa með 144 einingar og ýti honum í gegn eins og að ofan. Stærðfræðin tryggir að þetta verði hraðast. Hvernig vissi ég að þú þarft 89? Ég giskaði reyndar, en ef ég myndi ekki giska þá yrði ég að finna út úr því Kirchhoff jöfnur (man einhver eftir? - þetta eru jöfnur sem lýsa straumstreymi). Bandbreidd netkerfisins er 184/89, sem er um það bil jöfn 1,62.

Um gleði

Við the vegur, mér líkar við númerið 144. Mér fannst gaman að fara með strætó með þessu númeri að kastalatorginu í Varsjá - þegar enginn endurgerður konungskastali var við hliðina á því. Kannski vita ungir lesendur hvað tugur er. Það eru 12 eintök, en aðeins eldri lesendur muna eftir því að tugur tugi, þ.e. 122=144, þetta er svokallaður hlutur. Og allir sem kunna stærðfræði aðeins meira en skólanámið skilja það strax mynd. 10 við erum með Fibonacci tölur og að netbandbreiddin sé nálægt "gullna tölunni"

Í Fibonacci röðinni er 144 eina talan sem er fullkominn ferningur. Hundrað fjörutíu og fjórir er líka "gleðileg tala". Þannig er indverskur áhugamaður í stærðfræðingi Dattatreya Ramachandra Caprecar árið 1955 nefndi hann tölur sem eru deilanlegar með summan af tölustöfum þeirra:

Ef hann vissi það Adam Mickiewicz, hann hefði örugglega skrifað nei í Dzyady: „Frá undarlegri móður; blóð hans er gamla hetjurnar hans / Og hann heitir fjörutíu og fjórir, aðeins glæsilegri: Og hann heitir hundrað fjörutíu og fjórir.

Taktu skemmtun alvarlega

Ég vona að ég hafi sannfært lesendur um að Sudoku-þrautir séu skemmtileg hlið spurninga sem á svo sannarlega skilið að taka alvarlega. Ég get ekki þróað þetta efni frekar. Ó, útreikningur á fullri netbandbreidd út frá skýringarmyndinni sem fylgir með mynd. 9 að skrifa jöfnukerfi myndi taka tvær eða fleiri klukkustundir - jafnvel tugir sekúndna (!) af tölvuvinnu.