Grein um ekki neitt

Sem barn heillaðist ég af sögunni, líklega mörgum lesendum, um „súpu á nögl“. Amma mín (XNUMXst öld af fæðingu) sagði mér þetta í útgáfunni „Kósakkinn kom og bað um vatn, því hann er með nagla og hann mun elda súpu á það. Forvitin húsfreyja gaf honum pott af vatni... og við vitum hvað gerðist næst: „súpan á að vera sölt, daitye, amma, salt“, svo þvoði hann kjötið „til að bæta bragðið“ og svo framvegis. Á endanum henti hann „soðnu“ nöglinni.

Þannig að þessi grein átti að fjalla um tómleika geimsins - og þetta er um lendingu evrópsks tækis á halastjörnunni 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. nóvember 2014. En á meðan ég skrifaði féll ég fyrir langvarandi vana, Ég er enn stærðfræðingur. Hvernig er það með Eins ogс Núll stærðfræði?

Hvernig er ekkert til?

Það er ekki hægt að segja að ekkert sé til. Það er að minnsta kosti til sem heimspekilegt, stærðfræðilegt, trúarlegt og fullkomlega talmálshugtak. Núll er venjuleg tala, núll gráður á hitamæli er líka hitastig og núllstaða í banka er óþægilegt en algengt. Athugaðu að það er ekkert núll ár í tímaröðinni, og það er vegna þess að núll var kynnt í stærðfræði aðeins á síðmiðöldum, seinna en tímaröðin sem munkurinn Dionysius lagði til (XNUMXth öld).

Merkilegt nokk, við gætum í raun verið án þessa núlls og þar af leiðandi án neikvæðra talna. Í einni af kennslubókunum um rökfræði fann ég æfingu: teiknaðu eða segðu hvernig þú ímyndar þér fjarveru fisks. Ótrúlegt, er það ekki? Hver sem er getur teiknað fisk, en ekki einn?

Nú stuttlega grunnnám í stærðfræði. Að veita tóma menginu tilvistarréttindum sem er merkt með yfirstrikuðum hring ∅ er nauðsynleg aðferð sem er hliðstæð því að bæta núlli við tölumengið. Tóma mengið er eina settið sem inniheldur enga þætti. Slík söfn:

En það eru engin tvö mismunandi tóm sett. Tóma settið er innifalið í öðru hverju setti:

Reyndar segja reglur stærðfræðilegrar rökfræði að mengi A sé að finna í mengi B ef og aðeins ef setningin:

það hefur í för með sér

Þegar um er að ræða tóma mengið ∅ er fullyrðingin alltaf röng og því, samkvæmt lögmálum rökfræðinnar, er vísbendingin almennt sönn. Allt stafar af lygi („hér mun ég rækta kaktus ef þú ferð í næsta bekk ...“). Svo, þar sem tóma mengið er að finna í hverju hinna, þá ef þeir væru tveir ólíkir, væri hvert þeirra innifalið í öðru. Hins vegar, ef tvö meng eru inni í hvort öðru, eru þau jöfn. Þess vegna: það er aðeins eitt tómt sett!

Staðsetningin um tilvist tóms mengis stangast ekki á við nein lögmál stærðfræðinnar, svo hvers vegna ekki að koma því til skila? Heimspekilögreglan sem heitirRakvél Occams» Skipun um að útiloka óþarfa hugtök, en alveg rétt Hugmyndin um tómt mengi er mjög gagnlegt í stærðfræði. Athugaðu að tóma mengið hefur stærðina -1 (mínus einn) - núllvíddareiningar eru punktar og dreifð kerfi þeirra, einvíddareiningar eru línur og við ræddum um mjög flókin stærðfræðileg frumefni með brotavídd í kaflanum um brotatölur .

Það er athyglisvert að allt bygging stærðfræðinnar: tölur, tölur, föll, rekstraraðilar, heildir, mismunadrif, jöfnur ... er hægt að draga úr einu hugtaki - tómu mengi! Það er nóg að gera ráð fyrir að það sé tómt mengi, nýstofnuðu þættina er hægt að sameina í mengi til að geta byggja alla stærðfræðina. Þannig smíðaði þýski rökfræðingurinn Gottlob Frege náttúrulegu tölurnar. Núll er flokkur menga þar sem þættir eru í gagnkvæmu samræmi við þætti tóma mengisins. Einn er flokkur menga þar sem þættir eru í gagnkvæmu samræmi við þætti mengis þar sem eini þátturinn er tóma mengið. Tvö er flokkur menga þar sem þættirnir eru einn á móti einum þar sem þættir mengisins samanstanda af tóma menginu og menginu þar sem eini þátturinn er tóma mengið ... og svo framvegis. Við fyrstu sýn virðist þetta vera eitthvað mjög flókið, en í rauninni er það ekki.

Blár breiddist yfir mig

lyktaði af lyngi og lyktaði af myntu...

Wojciech Mlynarski, uppskerustelpa

Það er erfitt að ímynda sér

Ekkert er erfitt að ímynda sér. Í sögu Stanislaw Lem „How the World was Saved“ smíðaði hönnuðurinn Trurl vél sem myndi gera allt sem byrjaði á staf. Þegar Klapaucius skipaði að byggja það Nic, byrjaði vélin að fjarlægja ýmsa hluti úr heiminum - með lokamarkmiðið að fjarlægja allt. Þegar hinn hræddi Klapaucius stöðvaði bílinn, voru fleyjur, yews, hanging, hacks, rím, beaters, puffs, grinders, teini, Philidrons og frosts horfin af heiminum að eilífu. Og reyndar hurfu þeir að eilífu ...

Józef Tischner skrifaði mjög vel um ekkert í sögu sinni fjallaheimspeki. Í síðasta fríi mínu ákvað ég að upplifa þetta ekki neitt, ég fór nefnilega í móana á milli Nowy Targ og Jabłonka í Podhale. Þetta svæði er jafnvel kallað Pustachia. Þú ferð, þú ferð, en vegurinn minnkar ekki - auðvitað á okkar hóflega pólska mælikvarða. Dag einn tók ég strætó í kanadíska héraðinu Saskatchewan. Fyrir utan var kornakur. Ég fékk mér lúr í hálftíma. Þegar ég vaknaði vorum við að keyra í gegnum sama kornvöllinn... En bíddu, er þetta tómt? Í vissum skilningi er fjarvera breytinga bara tómleiki.

Við erum vön því að vera stöðugt til staðar ýmissa hluta í kringum okkur, og frá Eitthvað þú getur ekki flúið jafnvel með lokuð augun. „Ég hugsa, þess vegna er ég það,“ sagði Descartes. Ef ég hef þegar hugsað eitthvað, þá er ég til, sem þýðir að það er að minnsta kosti eitthvað í heiminum (nefnilega ég). Er það til sem ég hélt? Það má deila um þetta, en í skammtafræði nútímans er Heisenberg-reglan þekkt: hver athugun truflar ástand hlutarins sem sést. Þangað til við sjáum það Nic það er ekki til og þegar við byrjum að leita hættir hluturinn að vera til Eins og og það verður Eitthvað. Þetta er að verða fáránlegt mannfræðileg meginregla: Það þýðir ekkert að spyrja hvernig heimurinn væri ef við værum ekki til. Heimurinn er það sem okkur sýnist. Kannski munu aðrar verur sjá jörðina sem hyrndan?

Pósitrón (svo jákvæð rafeind) er gat í geimnum, "það er engin rafeind." Í útrýmingarferlinu hoppar rafeindin inn í þetta gat og „ekkert gerist“ – það er ekkert gat, engin rafeind. Ég mun sleppa mörgum brandara um göt í svissneskum osti ("því meira sem ég á, því minna þar ..."). Hið fræga tónskáld John Cage hafði þegar notað hugmyndir sínar svo mikið að hann samdi (?) tónverk (?) þar sem hljómsveitin situr hreyfingarlaus í 4 mínútur og 33 sekúndur og spilar að sjálfsögðu ekki neitt. „Fjórar mínútur og þrjátíu og þrjár sekúndur eru tvö hundruð sjötíu og þrjár, 273, og mínus 273 gráður er algjört núll, þar sem öll hreyfing stoppar,“ útskýrði tónskáldið (?).

Sía í núll, ekkert, nick, nick, ekkert, núll!

Jerzy í mynd Andrzej Wajda í gegnum árin,

dagar líða"

Hvað með alla?

Margir (frá einföldum bændum til þekktra heimspekinga) veltu fyrir sér fyrirbæri tilverunnar. Í stærðfræði er staðan einföld: það er eitthvað sem er í samræmi.

Hún hvarf inn á jaðarsviðin

Í kornblómum, illgresi og munni ljóna ...

Jæja, svona hlutir gerast

Sérstaklega í uppskeru og meðan á uppskeru stendur

sérstaklega…

Wojciech Mlynarski, uppskerustelpa

Allt er á hinum endamörkum Ekkert. Í stærðfræði vitum við það Allt er ekki til. Bara allt of ónákvæm hugmynd um að tilvist hans væri laus við deilur. Þetta má skilja með fordæmi gömlu þversagnarinnar: "Ef Guð er almáttugur, búðu þá til stein til að taka upp?" Stærðfræðileg sönnun þess að það geti ekki verið mengi allra menga byggist á setningunni söngvari-Bershtein, sem segir að "óendanlegur fjöldi" (stærðfræðileg: aðalnúmer) mengi allra meðlima tiltekins mengis er meiri en fjöldi þátta þessa mengis.

Ef mengi hefur þætti, þá hefur það 2ⁿ undirmengi; til dæmis, þegar = 3 og mengið samanstendur af {1, 2, 3} þá eru eftirfarandi undirmengi til:

• þrjú tveggja þátta mengi: hvert þeirra vantar eina af tölunum 1, 2, 3,
• eitt tómt sett,
• þrjú einþáttasett,
• allt settið {1,2,3}

- aðeins átta, 2³Og lesendur sem hafa nýlega útskrifast úr skóla, mig langar að rifja upp samsvarandi formúlu:

Hvert af nýtónsku táknunum í þessari formúlu ákvarðar fjölda k-þáttamengja í -einingamenginu.

Í stærðfræði birtast tvínefnastuðlar víða annars staðar, svo sem í áhugaverðum formúlum fyrir minni margföldun:

og út frá nákvæmlega formi þeirra er innbyrðis háð þeirra miklu áhugaverðara.

Það er erfitt að skilja hvað - hvað rökfræði og stærðfræði varðar - er og hvað allt er ekki. Rök fyrir því að vera ekki til Bara þau sömu og Winnie the Pooh, sem spurði gest sinn, Tiger, kurteislega, hvort tígrisdýr líkar við hunang, eik og þistla? „Tígrisdýr líkar við allt,“ svaraði sá sem Kubus komst að þeirri niðurstöðu að ef þeim líkar allt, þá finnst þeim líka gaman að sofa á gólfinu, þess vegna getur hann, Vinnie, farið aftur að sofa.

Önnur rök Þversögn Russell. Það er rakari í bænum sem rakar alla karlmenn sem raka sig ekki sjálfir. Rakar hann sig? Bæði svörin stangast á við það skilyrði sem sett er fram um að þeim sé slátrað og aðeins þeim sem gera það ekki sjálfir.

Er að leita að safni af öllum söfnum

Að lokum mun ég gefa snjöll, en mest stærðfræðilega sönnun þess að það er ekkert mengi allra menga (ekki að rugla saman við það).

Í fyrsta lagi munum við sýna að fyrir hvaða ótóma mengi X er ómögulegt að finna gagnkvæmt einstakt fall sem varpar þessu mengi við mengi undirmengi þess P(X). Svo við skulum gera ráð fyrir að þessi aðgerð sé til. Við skulum tákna það með hefðbundnu f. Hvað er f frá x? Þetta er safn. Tilheyrir xf x? Þetta er óþekkt. Annað hvort þarftu að gera það eða ekki. En fyrir sumt x hlýtur það samt að vera þannig að það tilheyri ekki f af x. Jæja, skoðaðu þá mengið af öllum x sem x tilheyrir ekki f(x) fyrir. Táknaðu það (þetta mengi) með A. Það samsvarar einhverju staki a í menginu X. Tilheyrir a A? Gerum ráð fyrir að þú ættir að gera það. En A er mengi sem inniheldur aðeins þá þætti x sem tilheyra ekki f(x) ... Ja, kannski tilheyrir það ekki A? En mengið A inniheldur alla þætti þessa eiginleika, og þar af leiðandi A. Endir sönnunar.

Þess vegna, ef það væri mengi allra menga, væri það sjálft hlutmengi af sjálfu sér, sem er ómögulegt samkvæmt fyrri rökstuðningi.

Úff, ég held að margir lesendur hafi ekki séð þessa sönnun. Ég tók það frekar upp til að sýna hvað stærðfræðingar þurftu að gera í lok nítjándu aldar, þegar þeir fóru að rannsaka undirstöður eigin vísinda. Í ljós kom að vandamál liggja þar sem enginn bjóst við þeim. Þar að auki, fyrir alla stærðfræðina, skipta þessi rök um grunnana ekki máli: sama hvað gerist í kjöllurunum - öll stærðfræðibyggingin stendur á traustum steini.

Á meðan, efst...

Við tökum eftir einu siðferði í viðbót úr sögum Stanislav Lem. Í einni af ferðum sínum náði Iyon Tichi plánetu þar sem íbúar hennar, eftir langa þróun, náðu loksins hæsta þroskastigi. Þeir eru allir sterkir, þeir geta allt, þeir hafa allt innan seilingar... og þeir gera ekkert. Þeir leggjast á sandinn og hella honum á milli fingranna. „Ef allt er mögulegt, þá er það ekki þess virði,“ útskýra þeir fyrir hneyksluðum Ijon. Megi þetta ekki gerast í okkar evrópsku siðmenningu...