Dulmál og njósnarar

Í stærðfræðihorninu í dag ætla ég að kíkja á efni sem ég ræddi á árlegum Vísindabúðum Barnaheilla fyrir krakka. Stofnunin leitar að börnum og ungmennum með vísindaleg áhugamál. Þú þarft ekki að vera einstaklega hæfileikaríkur, en þú þarft að hafa "vísindalegt streak." Ekki er krafist mjög góðra skólaeinkunna. Prófaðu það, þér gæti líkað það. Ef þú ert eldri grunnskóli eða framhaldsskólanemi skaltu sækja um. Venjulega gera foreldrar eða skólinn skýrslurnar, en það er ekki alltaf raunin. Finndu heimasíðu stofnunarinnar og komdu að því.

Það er meira og meira talað í skólanum um „kóðun“, sem vísar til starfseminnar sem áður hét „forritun“. Þetta er algengt verklag fyrir bóklega kennara. Þeir grafa upp gamlar aðferðir, gefa þeim nýtt nafn og "framfarir" verða til af sjálfu sér. Það eru nokkur svæði þar sem slíkt hringlaga fyrirbæri á sér stað.

Það má draga þá ályktun að ég virði kennslufræði. Nei. Í þróun siðmenningarinnar snúum við stundum aftur til þess sem var, var yfirgefið og er nú verið að endurvekja. En hornið okkar er stærðfræðilegt, ekki heimspekilegt.

Að tilheyra ákveðnu samfélagi þýðir líka „algeng tákn“, algeng lesning, orðatiltæki og dæmisögur. Sá sem lærði pólskuna fullkomlega „það er stór kjarr í Szczebrzeszyn, bjalla suðgar í reyrnum“ verður strax afhjúpaður sem njósnari erlends ríkis ef hann svarar ekki spurningunni um hvað skógarþrösturinn er að gera. Auðvitað er hann að kafna!

Þetta er ekki bara grín. Í desember 1944 hófu Þjóðverjar síðustu sókn sína í Ardennes með ærnum tilkostnaði. Þeir virkjaðu hermenn sem töluðu reiprennandi ensku til að trufla för hermanna bandamanna, til dæmis með því að leiða þá í ranga átt á krossgötum. Eftir andartak á óvart fóru Bandaríkjamenn að spyrja hermannanna grunsamlegra spurninga, svörin við þeim væru augljós fyrir manneskju frá Texas, Nebraska eða Georgíu og óhugsandi fyrir þann sem ekki ólst upp þar. Vanþekking á raunveruleikanum leiddi beint til aftökunnar.

Beint að efninu. Ég mæli með bókinni eftir Lukasz Badowski og Zaslaw Adamashek "Laboratory in a Desk Drawer - Mathematics" fyrir lesendur. Þetta er dásamleg bók sem sýnir á frábæran hátt að stærðfræði er virkilega gagnleg í eitthvað og að "stærðfræðitilraun" er ekki tóm orð. Það felur meðal annars í sér lýst smíði „papparáðgátunnar“ - tækis sem tekur okkur aðeins fimmtán mínútur að búa til og virkar eins og alvarleg dulmálsvél. Hugmyndin sjálf var svo vel þekkt, nefndir höfundar unnu hana prýðilega og ég mun breyta henni aðeins og pakka henni inn í stærðfræðilegri föt.

járnsög

Á einni af götum dacha-þorpsins míns í úthverfi Varsjár var gangstéttin nýlega tekin í sundur af „trlinka“ - sexhyrndum hellulögnum. Ferðin var óþægileg en sál stærðfræðingsins gladdist. Það er ekki auðvelt að hylja planið með reglulegum (þ.e. reglulegum) marghyrningum. Það geta aðeins verið þríhyrningar, ferningar og venjulegir sexhyrningar.

Kannski var ég að grínast aðeins með þessa andlegu gleði, en sexhyrningurinn er falleg mynd. Úr því geturðu búið til nokkuð vel heppnað dulkóðunartæki. Rúmfræði mun hjálpa. Sexhyrningurinn hefur snúningssamhverfu - hann skarast sjálfan sig þegar hann er snúinn margfeldi af 60 gráðum. Reiturinn merktur til dæmis með bókstafnum A efst til vinstri mynd. 1 eftir að hafa snúið í gegnum þetta horn mun það líka falla í reit A - og það sama með öðrum bókstöfum. Svo skulum við klippa út sex ferninga úr ristinni, hver með öðrum bókstaf. Við setjum ristina sem fæst á þennan hátt á blað. Í ókeypis sex reitunum, sláðu inn sex stafi af textanum sem við viljum dulkóða. Snúum blaðinu 60 gráður. Sex nýir reitir munu birtast - sláðu inn næstu sex stafi í skilaboðunum okkar.

Hrísgrjón. 1. Trlinkur af gleði stærðfræðinnar.

Til hægri mynd. 1 við höfum texta kóðaðan á þennan hátt: "Það er risastór þung gufueimreið á stöðinni."

Nú mun smá skólastærðfræði koma sér vel. Á hversu margan hátt er hægt að raða tveimur tölum miðað við hvor aðra?

Þvílík heimskuleg spurning? Fyrir tvo: annað hvort fyrir framan eða hinn.

Fínt. Og þrjár tölur?

Það er líka ekki erfitt að skrá allar stillingar:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Jæja, það er fyrir fjóra! Það má samt skýra það út. Giska á regluna sem ég setti:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Þegar tölustafirnir eru fimm fáum við 120 mögulegar stillingar. Við skulum hringja í þá umbreytingar. Fjöldi mögulegra umbreytinga n talna er afurðin 1 2 3 ... n, kölluð sterkur og merkt með upphrópunarmerki: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Fyrir næstu tölu 6 höfum við 6!=720. Við munum nota þetta til að gera sexhyrndan dulmálsskjöldinn okkar flóknari.

Við veljum umbreytingu á tölum frá 0 til 5, til dæmis 351042. Sexhyrndur skriðdiskurinn okkar er með strik í miðjusviðinu - þannig að hægt sé að setja það "í núllstöðu" - strik upp, eins og á mynd. 1. Við setjum diskinn á þennan hátt á blað sem við eigum að skrifa skýrsluna okkar á, en við skrifum hana ekki strax, heldur snúum henni þrisvar sinnum um 60 gráður (þ.e. 180 gráður) og sláum inn sex stafi í tómu reitina. Við snúum aftur í upphafsstöðu. Við snúum skífunni fimm sinnum um 60 gráður, það er fimm „tennur“ á skífunni okkar. Við prentum. Næsta kvarðastaða er staðan sem er snúin 60 gráður í kringum núllið. Fjórða staðan er 0 gráður, þetta er upphafsstaðan.

Skilurðu hvað gerðist? Við höfum tækifæri til viðbótar - að flækja "vélina" okkar meira en sjö hundruð sinnum! Þannig að við höfum tvær sjálfstæðar stöður „sjálfvirkans“ - val á rist og val á umbreytingu. Hægt er að velja ristið á 66 = 46656 vegu, umbreytingu 720. Þetta gefur 33592320 möguleika. Yfir 33 milljón dulmál! Næstum aðeins minna, því sum rist er ekki hægt að klippa úr pappír.

Í neðri hlutanum mynd. 1 við erum með skilaboð sem eru kóðað svona: "Ég sendi þér fjórar fallhlífardeildir." Það er auðvelt að skilja að óvinurinn ætti ekki að fá að vita af þessu. En mun hann skilja eitthvað af þessu:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

jafnvel með undirskrift 351042?

Við erum að smíða Enigma, þýska dulmálsvél

Hrísgrjón. 2. Dæmi um upphaflega uppsetningu dulkóðunarvélarinnar okkar.

Breytingar (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Eins og ég hef áður nefnt, skulda ég hugmyndina um að búa til slíka pappavél til bókarinnar "Lab in a Drawer - Mathematics". „Smíðin“ mín er nokkuð frábrugðin þeirri sem höfundar hennar hafa gefið upp.

Dulmálsvélin sem Þjóðverjar notuðu í stríðinu hafði snjallt einfalt lögmál, nokkuð svipað því sem við sáum með sexkantsdulmálinu. Í hvert skipti það sama: brjóta harða úthlutun bréfs í annan staf. Það verður að vera hægt að skipta um það. Hvernig á að gera það til að hafa stjórn á því?

Við skulum velja ekki neina umbreytingu, heldur eina sem hefur lotur af lengd 2. Einfaldlega sagt, eitthvað eins og "Gaderipoluk" sem lýst var hér fyrir nokkrum mánuðum, en nær yfir alla stafina í stafrófinu. Við skulum vera sammála um 24 stafi - án ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Hversu margar slíkar umbreytingar? Þetta er verkefni fyrir framhaldsskólanema (þeir ættu að geta leyst það strax). Hversu margir? Mikið af? Nokkur þúsund? Já:

1912098225024001185793365052108800000000 (reynum ekki einu sinni að lesa þetta númer). Það eru svo margir möguleikar til að stilla "núll" stöðuna. Og það getur verið erfitt.

Vélin okkar samanstendur af tveimur hringlaga diskum. Á einn þeirra, sem enn stendur, eru skrifaðir stafir. Þetta er svolítið eins og skífunni í gömlum síma þar sem þú hringir í númer með því að snúa skífunni alla leið. Rotary er annað með litasamsetningu. Auðveldasta leiðin er að setja þær á venjulegan kork með prjóni. Í staðinn fyrir kork er hægt að nota þunnt borð eða þykkan pappa. Lukasz Badowski og Zasław Adamaszek mæla með því að setja báða diskana í geisladiska.

Ímyndaðu þér að við viljum umrita orðið ARMATY (Hrísgrjón. 2 og 3). Stilltu tækið í núllstöðu (ör upp). Bókstafurinn A samsvarar F. Snúðu innri hringrásinni einn staf til hægri. Við höfum bókstafinn R til að kóða, nú samsvarar hann A. Eftir næsta snúning sjáum við að bókstafurinn M samsvarar U. Næsti snúningur (fjórða skýringarmynd) gefur samsvarandi A - P. Á fimmtu skífunni höfum við T - A. Að lokum (sjötti hringur ) Y – Y Óvinurinn mun líklega ekki giska á að CFCFA okkar verði hættuleg fyrir hann. Og hvernig mun „okkar“ lesa sendinguna? Þeir verða að hafa sömu vélina, sömu "forritaða", það er, með sömu umbreytingu. Dulmálið byrjar á núllstöðu. Þannig að gildi F er A. Snúðu skífunni réttsælis. Stafurinn A er nú tengdur við R. Hann snýr skífunni til hægri og undir stafnum U finnur M, o.s.frv. Dulmálsskrifarinn hleypur til hershöfðingjans: „Gerli, ég er að tilkynna, byssurnar eru að koma!“

Hrísgrjón. 3. Meginreglan um rekstur blaðsins Enigma okkar.

Hrísgrjón. 3. Meginreglan um rekstur blaðsins Enigma okkar.

Möguleikarnir á jafnvel svo frumstæðri Enigma eru ótrúlegir. Við getum valið aðrar úttaksbreytingar. Við getum - og það eru enn fleiri tækifæri hér - ekki með einum „serif“ reglulega, heldur í ákveðinni, daglegri breytilegri röð, svipað og sexhyrningur (td fyrst þrír stafir, síðan sjö, síðan átta, fjórir ... .. o.s.frv. .).

Hvernig geturðu giskað?! Og samt fyrir pólska stærðfræðinga (Marian Reevski, Henry Zigalski, Jerzy Ruzicki) gerðist. Þær upplýsingar sem þannig fengust voru ómetanlegar. Áður höfðu þeir jafn mikilvægt framlag til sögu varnar okkar. Vaclav Sierpinski i Stanislav Mazurkevichsem braut reglur rússneskra hermanna árið 1920. Snúran sem var stöðvuð gaf Piłsudski tækifæri til að gera hina frægu hreyfingu frá Vepsz ánni.

Ég man eftir Vaslav Sierpinski (1882-1969). Hann virtist vera stærðfræðingur sem umheimurinn var ekki til fyrir. Hann gat ekki talað um þátttöku sína í sigrinum árið 1920 bæði af hernaðarlegum og ... af pólitískum ástæðum (yfirvöldum í pólska alþýðulýðveldinu líkaði ekki við þá sem vörðu okkur fyrir Sovétríkjunum).

Hrísgrjón. 4. Umbreyting (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Hrísgrjón. 5. Falleg skraut, en hentar ekki til dulkóðunar. Of reglulega.

Dæmi 1. Na mynd. 4 þú hefur aðra umbreytingu til að búa til Enigma. Afritaðu teikninguna á röntgenmyndina. Byggðu bíl, kóðaðu fornafn og eftirnafn. CWONUE JTRYGT minn. Ef þú þarft að halda glósunum þínum persónulegum skaltu nota Cardboard Enigma.

Dæmi 2. Dulkóða nafnið þitt og eftirnafn eins af „bílunum“ sem þú sást, en (athugið!) með viðbótarflækju: við beygjum ekki eitt hak til hægri, heldur samkvæmt kerfinu {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - það er, fyrst af einum, síðan af tveimur, síðan af þremur, síðan með 2, svo aftur með 1, síðan með 2, osfrv., svona „bylgja“ . Gakktu úr skugga um að fornafn og eftirnafn mitt séu dulkóðuð sem CZTTAK SDBITH. Skilurðu núna hversu öflug Enigma vélin var?

Vandamálalausnir fyrir framhaldsskólanema. Hversu margir stillingarvalkostir fyrir Enigma (í þessari útgáfu, eins og lýst er í greininni)? Við höfum 24 stafi. Við veljum fyrsta parið af bókstöfum - þetta er hægt að gera á

leiðir. Hægt er að velja næsta par á

leiðir, meira

o.s.frv. Eftir samsvarandi útreikninga (allar tölur verða að margfalda) fáum við

151476660579404160000

Deildu síðan þeirri tölu með 12! (12 þáttur), vegna þess að hægt er að fá sömu pör í mismunandi röð. Svo á endanum fáum við "total"

316234143225,

það eru rúmlega 300 milljarðar, sem virðist ekki vera ótrúlega mikill fjöldi fyrir ofurtölvur nútímans. Hins vegar, ef tekið er tillit til tilviljunarkenndar röð breytinganna sjálfra, hækkar þessi tala verulega. Við getum líka hugsað um aðrar tegundir umbreytinga.

Sjá einnig: