Ferð inn í óraunverulegan heim stærðfræðinnar

Ég skrifaði þessa grein á miðvikudaginn, eftir fyrirlestur og æfingu í tölvunarfræðiháskóla. Ég ver mig gegn gagnrýni á nemendur þessa skóla, þekkingu þeirra, viðhorf til vísinda og síðast en ekki síst: kennslufærni. Þetta... enginn kennir þeim.

Af hverju er ég svona í vörn? Af einfaldri ástæðu - ég er á þeim aldri að líklega er heimurinn í kringum okkur ekki enn skilinn. Kannski er ég að kenna þeim að beisla og taka úr hestum, en ekki að keyra bíl? Kannski ég kenni þeim að skrifa með fjaðurpenna? Þó ég hafi betra álit á manneskju tel ég mig „fylgja“, en...

Þar til nýlega, í menntaskóla, töluðu þeir um tvinntölur. Og það var á þessum miðvikudag sem ég kom heim, hætti - nánast enginn nemenda hefur enn lært hvað það er og hvernig á að nota þessar tölur. Sumir líta á alla stærðfræði eins og gæs við málaðar hurðir. En ég var líka virkilega hissa þegar þeir sögðu mér hvernig ætti að læra. Einfaldlega sagt, hver klukkutími í fyrirlestri er tveggja tíma heimavinna: að lesa kennslubók, læra hvernig á að leysa vandamál um tiltekið efni o.s.frv. Eftir að hafa undirbúið okkur á þennan hátt komum við að æfingunum, þar sem við bætum allt ... Ánægjulega fannst nemendum, greinilega, að það að sitja við fyrirlesturinn - oftast að horfa út um gluggann - tryggi nú þegar innkomu þekkingar í höfuðið.

Hættu! Nóg um þetta. Ég mun lýsa svari mínu við spurningu sem ég fékk í kennslustund með félögum úr Barnahjálp, stofnun sem styrkir hæfileikarík börn alls staðar að af landinu. Spurningin (eða öllu heldur tillagan) var:

— Gætirðu sagt okkur eitthvað um óraunverulegar tölur?

„Auðvitað,“ svaraði ég. 

Raunveruleiki talna

„Vinur er annar ég, vinátta er hlutfallið af tölunum 220 og 284,“ sagði Pýþagóras. Aðalatriðið hér er að summa deilara tölunnar 220 er 284 og summa deilenda tölunnar 284 er 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Önnur áhugaverð tilviljun á milli talnanna 220 og 284 er þessi: sautján hæstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, og 59.

Summa þeirra er 2x220 og summa ferninganna er 59x284.

Fyrst. Það er ekkert hugtak um "rauntölu". Það er eins og eftir að hafa lesið grein um fíla spyr maður: "Nú ætlum við að biðja um ekki fíla." Það eru heilar og óheilar, skynsamlegar og óskynsamlegar, en það eru engar óraunverulegar. Nánar tiltekið: tölur sem eru ekki raunverulegar eru ekki kallaðar ógildar. Það eru margar tegundir af "tölum" í stærðfræði og þær eru ólíkar hver annarri, eins og - til að taka dýrafræðilegan samanburð - fíll og ánamaðkur.

Í öðru lagi munum við framkvæma aðgerðir sem þú veist nú þegar að eru bannaðar: að draga út kvaðratrætur neikvæðra talna. Jæja, stærðfræði mun sigrast á slíkum hindrunum. Meikar það samt sens? Í stærðfræði, eins og í öllum öðrum vísindum, veltur það á beitingu hennar hvort kenning kemst að eilífu inn í þekkingargeymsluna. Ef það er ónýtt, þá endar það í ruslinu, þá í einhverju drasli þekkingarsögunnar. Án þeirra tölur sem ég tala um í lok þessarar greinar er ómögulegt að þróa stærðfræði. En við skulum byrja á nokkrum litlum hlutum. Hvað eru rauntölur, þú veist. Þeir fylla talnalínuna þétt og án eyður. Þú veist líka hvað náttúrulegar tölur eru: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - þær passa ekki allar inn í minnið jafnvel hið mesta. Þeir hafa líka fallegt nafn: náttúrulegt. Þeir hafa svo marga áhugaverða eiginleika. Hvernig líkar þér þetta:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Það er eðlilegt að hafa áhuga á náttúrulegu tölunum,“ sagði Karl Lindenholm og Leopold Kronecker (1823–1891) orðaði það stuttlega: „Guð skapaði náttúrulegu tölurnar — allt annað er mannanna verk! Brot (sem kölluð eru skynsamlegar tölur af stærðfræðingum) hafa líka ótrúlega eiginleika:

og í jafnréttismálum:

þú getur, frá vinstri hlið, nuddað plús-merkjunum og skipt þeim út fyrir margföldunarmerki - og jöfnuðurinn verður áfram sannur:

Og svo framvegis.

Eins og þú veist, fyrir brot a/b, þar sem a og b eru heilar tölur, og b ≠ 0, segja þeir ræð tala. En aðeins á pólsku kalla þeir sig það. Þeir tala ensku, frönsku, þýsku og rússnesku. ræð tala. Á ensku: skynsamlegar tölur. Óræð tölur það er óskynsamlegt, óskynsamlegt. Við tölum líka pólsku um óskynsamlegar kenningar, hugmyndir og verk - þetta er brjálæði, ímyndað, óútskýranlegt. Þeir segja að konur séu hræddar við mýs - er það ekki svo óskynsamlegt?

Í fornöld höfðu tölur sál. Hvert þýddi eitthvað, hvert táknaði eitthvað, hvert endurspeglaði ögn af þeirri sátt alheimsins, það er á grísku, alheiminum. Sjálft orðið „cosmos“ þýðir nákvæmlega „pöntun, pöntun“. Mikilvægust voru sex (fullkomin tala) og tíu, summan af samfelldum tölum 1+2+3+4, sem eru samsettar úr öðrum tölum, sem táknmyndin hefur varðveist til þessa dags. Svo Pýþagóras kenndi að tölur eru upphaf og uppspretta alls, og aðeins uppgötvunin óræð tölur sneri pýþagórahreyfingunni í átt að rúmfræði. Við þekkjum rökin úr skólanum um það

√2 er óræð tala

Gerum ráð fyrir að það sé: og að þetta brot sé ekki hægt að minnka. Sérstaklega eru bæði p og q skrýtin. Við skulum ferninga: 2q²=p². Talan p getur ekki verið odda, þar sem p² væri líka, og vinstri hlið jöfnuðarins er margfeldi af 2. Þess vegna er p jafnt, þ.e. p = 2r, þar af leiðandi p²= 4r². Við minnkum jöfnuna 2q²= 4r² eftir 2. Við fáum q²= 2r² og við sjáum að q verður líka að vera jafnt, sem við gerðum ráð fyrir að væri ekki svo. Mótsögnin sem af því leiðir fullkomnar sönnunina - þessa formúlu er oft að finna í hverri stærðfræðibók. Þessi atvikssönnun er uppáhaldsbragð sofistanna.

Pýþagóríumenn gátu ekki skilið þessa gríðarlegu. Öllu verður að vera hægt að lýsa með tölum og ská fernings, sem hver sem er getur teiknað með priki yfir sandinn, hefur enga, það er mælanlega, lengd. „Trú okkar var til einskis,“ virðast Pýþagóríumenn segja. Hvernig þá? Það er soldið... óskynsamlegt. Sambandið reyndi að bjarga sér með sértrúaraðferðum. Allir sem þora að opinbera tilvist sína óræð tölur, átti að refsa með dauða, og að því er virðist, var fyrsti dómurinn framfylgt af húsbóndanum sjálfum.

En "hugsunin fór óskadduð." Gullöldin er runnin upp. Grikkir sigruðu Persa (maraþon 490, blokk 479). Lýðræðið var eflt, nýjar miðstöðvar heimspekilegrar hugsunar og nýir skólar risu. Pýþagóríumenn voru enn að berjast við óræð tölur. Sumir predikuðu: Við munum ekki skilja þennan leyndardóm; við getum aðeins hugleitt og undrast Uncharted. Þeir síðarnefndu voru raunsærri og virtu ekki leyndardóminn. Á þeim tíma komu fram tvær hugsmíðar sem gerðu kleift að skilja óræð tölur. Sú staðreynd að við skiljum þau nógu vel í dag tilheyrir Eudoxus (XNUMX. öld f.Kr.), og það var fyrst í lok XNUMX. aldar sem þýski stærðfræðingurinn Richard Dedekind gaf kenningunni um Eudoxus rétta þróun í samræmi við kröfur um strangar kröfur. stærðfræðileg rökfræði.

Massa af fígúrum eða pyntingar

Gætirðu lifað án númera? Jafnvel þó hvernig lífið yrði... Við þyrftum að fara út í búð til að kaupa skó með priki, sem við mældum áður lengd fótsins. "Mig langar í epli, ah, hér er það!" - við myndum sýna seljendum á markaðnum. „Hversu langt er frá Modlin til Nowy Dwur Mazowiecki“? "Nokkuð nálægt!"

Tölur eru notaðar til að mæla. Með hjálp þeirra tjáum við líka mörg önnur hugtök. Til dæmis sýnir mælikvarði kortsins hversu mikið flatarmál landsins hefur minnkað. Tvö-í-einn kvarði, eða einfaldlega 2, lýsir þeirri staðreynd að eitthvað hefur verið tvöfaldað að stærð. Segjum stærðfræðilega: hver einsleitni samsvarar tölu - kvarða hennar.

Verkefni. Við gerðum xerographic afrit, stækkuðum myndina nokkrum sinnum. Þá var stækkað brotið aftur stækkað b sinnum. Hver er almennur stækkunarkvarði? Svar: a × b margfaldað með b. Þessa mælikvarða þarf að margfalda. „Mínus einn“ talan, -1, samsvarar einni nákvæmni sem er miðuð, þ.e. snúið 180 gráður. Hvaða tala samsvarar 90 gráðu beygju? Það er engin slík tala. Það er, það er… eða réttara sagt, það verður bráðum. Ertu tilbúinn fyrir siðferðilega pyntingar? Vertu hugrakkur og taktu kvaðratrótina af mínus einum. ég er að hlusta á? Hvað geturðu ekki? Enda sagði ég þér að vera hugrakkur. Dragðu það út! Hey, jæja, dragðu, dragðu... Ég skal hjálpa... Hér: -1 Nú þegar við höfum það, reynum að nota það... Auðvitað, nú getum við dregið út rætur allra neikvæðra talna, þ. dæmi.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

„Óháð þeirri andlegu kvöl sem það hefur í för með sér. Þetta er það sem Girolamo Cardano skrifaði árið 1539, þegar hann reyndi að sigrast á andlegum erfiðleikum sem tengdust - eins og það var fljótlega kallað - ímyndað magn. Hann taldi þessar...

...Verkefni. Skiptu 10 í tvo hluta, afraksturinn af þeim er 40. Ég man að úr fyrri þættinum skrifaði hann eitthvað á þessa leið: Vissulega ómögulegt. Hins vegar skulum við gera þetta: skiptum 10 í tvo jafna hluta, sem hvor er jafn 5. Margfaldaðu þá - það kom í ljós 25. Frá 25 sem myndast, dragðu nú 40 frá, ef þú vilt, og þú færð -15. Sjáðu nú: √-15 bætt við og dregið frá 5 gefur þér margfeldi 40. Þetta eru tölurnar 5-√-15 og 5 + √-15. Sannprófun á niðurstöðunni var framkvæmd af Cardano sem hér segir:

„Óháð ástarsorginni sem það hefur í för með sér, margfaldaðu 5 + √-15 með 5-√-15. Við fáum 25 - (-15), sem er jafnt og 25 + 15. Þannig að afurðin er 40 .... Það er virkilega erfitt.“

Jæja, hvað er: (1 + √-1) (1-√-1)? Við skulum margfalda. Mundu að √-1 × √-1 = -1. Frábært. Nú er erfiðara verkefni: frá a + b√-1 til ab√-1. Hvað gerðist? Vissulega, svona: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Hvað er áhugavert við þetta? Til dæmis sú staðreynd að við getum þáttað orðasambönd sem við „þekktum ekki áður“. Stytta margföldunarformúlan fyrir²-b² Manstu formúluna fyrir²+b² það var það ekki, því það gat ekki verið. Á sviði rauntalna, margliðan²+b² það er óumflýjanlegt. Táknum "okkar" kvaðratrót af "mínus einum" með bókstafnum i.²= -1. Það er „óraunveruleg“ frumtala. Og það er það sem lýsir 90 gráðu beygju flugvélar. Hvers vegna? Eftir allt,²= -1, og að sameina einn 90 gráðu snúning og annan 180 gráðu snúning gefur 45 gráðu snúning. Hvers konar snúningi er verið að lýsa? Augljóslega XNUMX gráðu beygja. Hvað þýðir -i? Þetta er aðeins flóknara:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

Svo -i lýsir líka 90 gráðu snúningi, bara í gagnstæða átt við snúning i. Hver er vinstri og hver er hægri? Þú verður að panta tíma. Við gerum ráð fyrir að talan i tilgreini snúning í þá átt sem stærðfræðingar telja jákvæða: rangsælis. Talan -i lýsir snúningi í þá átt sem vísarnir hreyfast.

En eru tölur eins og ég og -i til? Eru! Við komum þeim bara til lífs. ég er að hlusta á? Að þeir séu bara til í höfðinu á okkur? Jæja við hverju á að búast? Allar aðrar tölur eru líka aðeins til í huga okkar. Við þurfum að sjá hvort nýburafjöldinn okkar lifir af. Nánar tiltekið hvort hönnunin sé rökrétt og hvort þau nýtist eitthvað. Vinsamlegast taktu orð mín fyrir það að allt sé í lagi og að þessar nýju tölur séu virkilega gagnlegar. Tölur eins og 3+i, 5-7i, almennt séð: a+bi kallast flóknar tölur. Ég sýndi þér hvernig þú getur fengið þá með því að snúa flugvélinni. Hægt er að slá þær inn á mismunandi vegu: sem punkta á plani, sem sumar margliður, sem einhvers konar talnafylki ... og í hvert sinn eru þær eins: jöfnan x² +1=0 það er ekkert frumefni... hókus pókus er þegar til staðar!!!! Fögnum og gleðjumst!!!

Lok ferðar

Þetta lýkur fyrstu ferð okkar um landið með fölsuðum númerum. Af öðrum ójarðneskum tölum nefni ég líka þær sem hafa óendanlega marga tölustafi fyrir framan, en ekki aftan (þær kallast 10-adic, fyrir okkur eru p-adic mikilvægari, þar sem p er frumtala), til dæmis X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Teljum X takk². Vegna þess að? Hvað ef við reiknum út veldi tölu sem fylgt er eftir með óendanlega mörgum tölustöfum? Jæja, við skulum gera það sama. Við vitum að x² = H.

Finnum aðra slíka tölu með óendanlega marga tölustafi fyrir framan sem uppfyllir jöfnuna. Vísbending: veldi tölu sem endar á sex endar líka á sex. Ferningur tölu sem endar á 76 endar líka á 76. Ferningur tölu sem endar á 376 endar líka á 376. Ferningur tölu sem endar á 9376 endar líka á 9376. Ferningur tölu sem endar á XNUMX. XNUMX á … Það eru líka tölur sem eru svo litlar að þar sem þær eru jákvæðar eru þær áfram minni en nokkur önnur jákvæð tala. Þau eru svo pínulítil að stundum er nóg að setja þau í veldi til að fá núll. Það eru tölur sem uppfylla ekki skilyrðið a × b = b × a. Það eru líka óendanlegar tölur. Hversu margar náttúrulegar tölur eru til? Óendanlega margir? Já, en hversu mikið? Hvernig er hægt að tjá þetta sem tölu? Svar: minnsta af óendanlega tölum; það er merkt með fallegum bókstaf: A og bætt við núllvísitölu A₀ , alef-núll.

Það eru líka tölur sem við vitum ekki að séu til... eða sem þú getur trúað eða vantrúað eins og þú vilt. Og talandi um svipað: Ég vona að þér líkar enn við Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.